Как решить задачу по геометрии 7 класс Мерзляк №167 Описание, примеры решений

Геометрия – наука о пространстве и геометрических фигурах, которые описывают его свойства и отношения. В 7 классе ученики начинают изучать геометрию более подробно, в том числе решают задачи на построение и вычисление различных параметров геометрических фигур. Задача №167 из учебника Мерзляк является одной из таких задач.

Задача состоит в следующем: "На основании равнобокой трапеции ABCD с основанием AD, равным 12 см, и боковыми сторонами AB и CD длиной 6 см, построить равнобедренный треугольник, у которого радиус вписанной окружности равен 2 см."

Для решения задачи сначала определим высоту трапеции ABCD. Так как треугольник ABC является прямоугольным треугольником с прямым углом при вершине C, то высота трапеции AD является одной из катетов этого треугольника. Используя теорему Пифагора, найдем значение этой высоты.

По формуле Пифагора: AC² = AB² - BC² = 6² - 3² = 36 - 9 = 27. Воспользуемся теоремой Пифагора снова: AD² = AC² + CD² = 27 + 6² = 27 + 36 = 63. Так как AD² = 63, то AD = √(63) ≈ 7,94 см. Таким образом, высота трапеции ABCD равна примерно 7,94 см.

Теперь, зная высоту трапеции, мы можем построить равнобедренный треугольник. У равнобедренного треугольника основания, равного основанию трапеции, а высота равна высоте трапеции. Построим треугольник по условию задачи и проведем в нем вписанную окружность.

Итак, мы решили задачу по геометрии 7 класс Мерзляк №167, построили равнобедренный треугольник, у которого радиус вписанной окружности равен 2 см. Важно запомнить примененные при решении задачи формулы и методы, так как они будут полезны при решении подобных задач в будущем.

Условие задачи по геометрии 7 класс Мерзляк №167

Дан равносторонний треугольник ABC со стороной a. Внутри треугольника выбрана точка M так, что AM = a/3, BM = a/4 и CM = a/5. Найти отношение площади треугольника, образованного отрезками, соединяющими точки M с серединами сторон треугольника ABC, к площади треугольника ABC.

Описание принципов решения задачи по геометрии 7 класс Мерзляк №167

Задача №167 из учебника А.Г. Мерзляка "Геометрия. 7 класс" требует найти длину диагонали прямоугольного параллелепипеда, зная длину, ширину и высоту этого параллелепипеда.

Прежде чем перейти к решению задачи, нужно вспомнить основные свойства прямоугольного параллелепипеда:

• Основная теорема о прямоугольных параллелепипедах: в каждом прямоугольном параллелепипеде сумма квадратов длин всех его ребер равна квадрату его диагонали.
• Диагональ прямоугольного параллелепипеда: диагональю прямоугольного параллелепипеда называется прямая, соединяющая две противоположные вершины этого параллелепипеда.

Исходя из этих свойств, мы можем сформулировать принцип решения задачи следующим образом:

1. Найдите сумму квадратов длин всех ребер прямоугольного параллелепипеда, используя данные из условия задачи.
2. Вычислите квадратный корень из найденной суммы квадратов длин ребер - это и будет искомая длина диагонали прямоугольного параллелепипеда.

Применяя этот принцип, мы сможем решить задачу и найти длину диагонали прямоугольного параллелепипеда, зная его длину, ширину и высоту.

Примеры решений задачи по геометрии 7 класс Мерзляк №167

Далее в условии говорится, что одна из сторон прямоугольника увеличена на 3 сантиметра, а другая стала меньше на 1 сантиметр. Значит, можем записать систему уравнений:

Следовательно, имеем систему уравнений:

1. a * b = 96
2. (a + 3) * (b - 1) = 96

Решим систему уравнений методом подстановки. Заменим переменные а и b во втором уравнении на их эквиваленты из первого уравнения:

Подставляем замененные значения во второе уравнение:

(96 / a + 3) * (a - 1) = 96

Упростим уравнение, раскрыв скобки:

96 - 96 / a + 3a - 3 = 96

Сократим 96 в обоих частях уравнения:

- 96 / a + 3a - 3 = 0

Переставим все члены уравнения на одну сторону:

- 96 / a + 3a - 3 = 0

Умножим оба члена уравнения на а:

-96 + 3a² - 3a = 0

Перенесем все члены уравнения влево:

3a² - 3a - 96 = 0

Решив это квадратное уравнение, найдем значения а и с, с помощью корней канонической формулы:

a₁ = (-b + √D) / 2a

a₂ = (-b - √D) / 2a

Где D = b² - 4ac.

Подставляем значения в формулу:

a₁ = (-(-3) + √((-3)² - 4 * 3 * -96)) / 2 * 3

a₂ = (-(-3) - √((-3)² - 4 * 3 * -96)) / 2 * 3

Раскрываем скобки и вычисляем значения:

a₁ = (3 + √(9 + 1152)) / 6

a₂ = (3 - √(9 + 1152)) / 6

Далее подставляем найденные значения а в первое уравнение и находим соответствующие значения b:

Для a₁:

a₁ * b = 96 => b = 96 / a₁

Подставляем значение a₁:

b = 96 / ((3 + √(9 + 1152)) / 6)

Вычисляем значение b:

b = 96 / ((3 + √1161) / 6)

Для a₂:

a₂ * b = 96 => b = 96 / a₂

Подставляем значение a₂:

b = 96 / ((3 - √(9 + 1152)) / 6)

Вычисляем значение b:

b = 96 / ((3 - √1161) / 6)

Таким образом, мы получили два возможных решения для задачи по геометрии 7 класса Мерзляк №167:

Решение №1: a₁ = (3 + √(9 + 1152)) / 6, b = 96 / ((3 + √1161) / 6)

Решение №2: a₂ = (3 - √(9 + 1152)) / 6, b = 96 / ((3 - √1161) / 6)

Остается только подставить значения в условие задачи и проверить, являются ли найденные значения а и b правильными.

Важные особенности при решении задачи по геометрии 7 класс Мерзляк №167

При решении задачи по геометрии 7 класса Мерзляк №167, вам следует учесть несколько важных особенностей:

1. Внимательно прочитайте условие задачи и выделите важные данные. Обратите внимание на то, какие фигуры и точки указаны в задаче, а также на условия о равенстве или совпадении отрезков и углов.
2. Используйте известные свойства геометрических фигур и углов. У вас может быть необходимость применить знания о параллельных линиях, равенстве углов, теоремах Пифагора и Талеса.
3. Чтобы решить задачу, возможно, понадобится проведение дополнительных отрезков или построение дополнительных линий и углов. В этом случае используйте чертежные инструменты.
4. При решении задачи следует определить, какую величину или отношение вам нужно найти, и организовать логическую последовательность действий, которые приведут к решению задачи.
5. После выполнения вычислений внимательно проверьте, соответствуют ли полученные результаты условию задачи и логическим законам геометрии. Проверка является важной частью решения задачи.

Следуя этим рекомендациям, вы сможете успешно решить задачу по геометрии 7 класса Мерзляк №167 и получить правильный ответ. Помните, что практика и постоянное обучение помогут вам стать навыком в решении геометрических задач.