Касательная к окружности – это прямая, которая касается окружности в единственной точке. Изучение этого понятия является важным шагом в изучении геометрии, и оно становится доступным уже на уроках математики в 7 классе.
Касательная к окружности обладает рядом интересных свойств. Например, отрезок, соединяющий точку касания и центр окружности, является радиусом этой окружности. Также, касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точке касания. Эти особенности позволяют использовать касательные для решения различных геометрических задач.
Касательная к окружности имеет важное применение в различных областях науки и техники. Например, при проектировании зданий и мостов, инженеры используют принципы, основанные на свойствах касательных к окружностям. Также, в физике и астрономии концепция касательных применяется для изучения движения и путей тел в пространстве.
Понятие касательной к окружности
Для построения касательной к окружности в заданной точке необходимо:
- Построить радиус окружности, проходящий через данную точку.
- Из данной точки провести перпендикуляр к радиусу в точке его пересечения с окружностью.
- Этот перпендикуляр и будет касательной к окружности.
Касательная к окружности имеет несколько свойств:
- Если провести радиус из центра окружности к точке касания касательной, то получится прямой угол.
- Угол между радиусом и касательной равен прямому углу.
Касательные к окружности на практике имеют множество применений, включая решение геометрических задач, построение графиков функций и определение траектории движения объектов.
Определение и основные свойства
Основные свойства касательной:
1. Касательная и радиус окружности перпендикулярны в точке касания.
В точке касания касательная образует с радиусом прямой угол 90° (прямой угол – угол, мера которого равна 90°). Это означает, что прямая, проведенная через точку касания и центр окружности, будет перпендикулярна касательной в данной точке.
2. Касательная к окружности всегда касается её внешней стороны.
Всякая прямая, проходящая через точку внутри окружности и касательная к окружности, не будет её касаться. То есть, прямая будет либо пересекать окружность, либо не достигнет ее, но точно не коснется ее в одной-единственной точке.
3. Касательная и радиус окружности будут иметь общую точку.
Касательная всегда касается окружности в одной точке и проходит через центр окружности.
Правило проведения касательной к окружности в 7 классе
Касательной к окружности называется прямая, которая касается окружности в одной и только одной точке. Важно понимать, что касательная всегда перпендикулярна радиусу окружности в точке касания.
Для проведения касательной к окружности в 7 классе существует основное правило:
Правило: Касательная к окружности проводится из точки касания перпендикулярно радиусу, проходящему через эту точку.
Следование этому правилу позволяет легко находить точку касания и провести требуемую касательную к окружности. Зная координаты центра окружности и радиуса, можно легко построить каждую касательную.
Примечание: На практике, для проведения касательной к окружности, можно использовать циркуль и линейку. Сначала проводятся радиус и перпендикуляр к нему, затем с помощью циркуля проводится дуга окружности, точка пересечения которой с перпендикуляром становится точкой касания. Затем проводится прямая через эту точку, что и является касательной.
Построение касательной через внутреннюю точку окружности
Касательная к окружности представляет собой прямую, которая касается окружности в одной единственной точке и не пересекает ее. В данном разделе рассмотрим, как построить касательную к окружности через внутреннюю точку.
Для начала, нужно взять произвольную окружность и выбрать любую внутреннюю точку на ней. Данная точка будет являться центром касательной, которую мы собираемся построить.
Далее, проведем линию, соединяющую центр окружности с выбранной внутренней точкой. Это действие поможет нам в построении касательной.
Следующим шагом проведем линию, перпендикулярную линии, соединяющей центр окружности с внутренней точкой. Для этого, найдем середину этой линии и проведем через нее прямую, перпендикулярную данной линии.
Теперь, найдем точку пересечения новой прямой и окружности. Она будет служить нам точкой касания.
Наконец, соединим выбранную внутреннюю точку с точкой касания. Полученная прямая будет касательной к окружности.
Чтобы убедиться в правильности построения касательной, можно провести отметку в точке касания и убедиться, что она действительно является точкой касания прямой и окружности.
Таким образом, мы рассмотрели, как построить касательную к окружности через внутреннюю точку. Этот метод может быть использован в различных задачах геометрии, связанных с окружностями.
Построение касательной через внешнюю точку окружности
Для построения касательной нам понадобятся следующие шаги:
- Выберем данную внешнюю точку и соединим ее с центром окружности. Получится отрезок, который является радиусом окружности.
- Полученный отрезок разделим пополам, чтобы найти середину отрезка.
- Далее, с помощью циркуля или компаса, построим окружность с центром в найденной середине отрезка. Эта окружность будет касаться данной внешней точки и пересекать исходную окружность в двух точках.
- Проведем прямую через внешнюю точку и одну из точек пересечения построенной окружности с исходной окружностью.
Данная прямая и будет касательной к окружности в данной внешней точке.
Таким образом, построение касательной через внешнюю точку окружности требует выполнения нескольких простых шагов и применения геометрических инструментов, таких как циркуль и линейка.
Теоремы о касательной к окружности в 7 классе
Теорема 1: Касательная к окружности в точке перпендикулярна радиусу, проведенному в этой точке.
Доказательство: Пусть дана окружность с центром O и радиусом r, а также точка A на окружности. Проведем радиус OA. Так как радиус соединяет центр окружности и точку на ней, он перпендикулярен касательной, проведенной в этой точке.
Теорема 2: Для двух касательных к окружности, проведенных из одной точки, длины от этой точки до точек касания равны.
Доказательство: Пусть точка касания первой касательной с окружностью обозначена как B, а точка касания второй касательной с окружностью обозначена как C. Проведем отрезки AB и AC. По теореме 1 отрезки AB и AC являются радиусами окружности и, следовательно, равны между собой.
Теорема 3: Касательная, проведенная из точки, находящейся вне окружности, перпендикулярна радиусу, проведенному в точке касания.
Доказательство: Пусть дана окружность с центром O и радиусом r, а также точка P вне окружности. Проведем радиус OP и отложим на нем отрезок OA, равный радиусу окружности. Проведем точку A. Так как радиус окружности соединяет центр и точку касания, он перпендикулярен касательной. А так как отрезок OP в точке A равен радиусу окружности, он также перпендикулярен радиусу AO.
Теорема 4: Касательные к окружности, проведенные из одной точки, конгруэнтны.
Доказательство: Пусть точки касания первой касательной с окружностью обозначены как B и C, а точки касания второй касательной с окружностью обозначены как D и E. По теореме 2 отрезки AB и AC равны, а по теореме 2 отрезки AD и AE равны. Так как отрезки AB и AD равны, а отрезки AC и AE равны, по аксиоме о равенстве отрезков эти отрезки можно перенести друг на друга, что означает, что касательные равны.