Ромб - это особый вид четырехугольника с равными диагоналями. Его свойства и формулы становятся важными при решении задач по геометрии как на школьных уроках, так и на ОГЭ. Одной из таких задач является нахождение площади ромба по клеточкам. В данной статье мы рассмотрим алгоритм решения этой задачи, который поможет вам подготовиться к ОГЭ 2023.
Для начала, важно понимать, что клеточки на рисунке ромба могут быть как квадратными, так и прямоугольными. При этом, диагонали ромба обязательно проходят через середины сторон этих клеточек. Как только вы определили это, осталось только посчитать количество клеточек внутри ромба, чтобы найти его площадь.
Разбиваем ромб на два треугольника, и производим расчет площади каждого из них. Для этого нужно знать длину диагоналей, которые можно найти, рассмотрев отношения длин сторон этих треугольников. Площадь каждого из треугольников находится с помощью формулы "площадь = (основание * высота) / 2", где основание - это длина одной из диагоналей, а высота - расстояние от основания до противоположной стороны внутри треугольника.
Шаг 1: Понять геометрическую суть ромба
- Диагонали: Ромб имеет две диагонали, каждая из которых является отрезком, соединяющим противоположные вершины ромба. Диагонали ромба всегда перпендикулярны друг другу и делят его на четыре равных треугольника.
- Стороны: Ромб имеет четыре стороны, которые сопрягают вершины ромба. Все четыре стороны ромба равны друг другу в длине.
- Углы: Ромб имеет четыре угла, каждый из которых является прямым углом (90 градусов). Углы ромба также равны друг другу.
Используя эти основные характеристики, мы можем найти площадь ромба, используя различные методы, которые будут рассмотрены в следующих шагах.
Шаг 2: Определить формулу для расчета площади ромба
Для того чтобы найти площадь ромба, нам понадобится знание его диагоналей. Для ромба диагонали перпендикулярны и делят его на 4 равных треугольника. Это означает, что площадь ромба равна произведению длин его диагоналей, деленному на 2:
| Площадь ромба (S) = | (Длина первой диагонали (d1) * Длина второй диагонали (d2)) / 2 |
Важно помнить, что длины диагоналей ромба измеряются в одних и тех же единицах измерения. Если одна диагональ измеряется в сантиметрах, то и вторая диагональ также должна быть измерена в сантиметрах.
Шаг 3: Подготовить данные для расчета
Расчет площади ромба по клеточкам требует подготовки данных:
1. Определить длину стороны ромба.
Для этого необходимо знать количество клеток вдоль одной стороны ромба. Посчитайте количество клеток, отмеченных на схеме, и разделите их пополам. Полученное число будет являться длиной одной стороны ромба.
2. Найти диагонали ромба.
Диагонали ромба являются хордами его окружности. Для расчета длины диагоналей можно воспользоваться теоремой Пифагора и известной длиной стороны ромба. Длина диагоналей равна произведению длины стороны на коэффициент √2.
Пример:
Пусть длина стороны ромба равна 4 клеточкам. Тогда:
Длина диагонали = 4 клеточки * √2 ≈ 5.65 клеточек.
3. Вычислить площадь ромба.
Площадь ромба равна половине произведения длин его диагоналей. Подставьте значения длин диагоналей в формулу и выполните расчет.
Пример:
Пусть длина большей диагонали ромба равна 7 клеточкам, а длина меньшей диагонали равна 5 клеточкам. Тогда:
Площадь ромба = 0.5 * 7 клеточек * 5 клеточек = 17.5
Таким образом, площадь ромба составляет 17.5 квадратных клеточек.
Шаг 4: Расставить данные по клеточкам
Теперь, когда у нас уже есть все необходимые данные, мы можем начать их расставлять по клеточкам ромба. Для этого нам понадобится создать таблицу, где каждая клеточка будет соответствовать одной из сторон ромба.
Количество строк в таблице будет равно количеству клеточек по вертикали в ромбе, а количество столбцов – количеству клеточек по горизонтали.
Начнем с создания таблицы:
| Сторона 1 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|
| Сторона 2 | 3 | 7 | |
| Сторона 3 | 2 | 1 | 8 |
| Сторона 4 | 9 |
В верхней строке таблицы мы указываем номера сторон ромба, а в первом столбце – номера клеточек по вертикали. Заполняем таблицу, помещая числа из массива данных по соответствующим клеточкам. Пустые клеточки оставляем пустыми.
Теперь у нас есть готовая таблица, в которой каждое число соответствует определенной стороне ромба. Теперь мы можем переходить к следующему шагу – расчету площадей сторон ромба.
Шаг 5: Произвести расчет площади ромба
Площадь ромба можно вычислить по формуле:
S = d1 * d2 / 2
Где S - площадь ромба, d1 - длина одной диагонали, d2 - длина другой диагонали.
Для нахождения длины диагоналей можно использовать ранее найденные значения сторон ромба. Если стороны ромба равны, диагонали можно вычислить так:
d1 = a * √2
d2 = b * √2
Где a и b - длины сторон ромба.
Используя найденные значения длин диагоналей, можем подставить их в формулу для расчета площади ромба:
S = (a⋅√2) * (b⋅√2) / 2
Данная формула позволяет найти площадь ромба по заданным значениям длин его сторон.
Теперь у вас есть все необходимые навыки для расчета площади ромба. Продолжайте тренироваться и получать новые знания.
Шаг 6: Проверить правильность расчета
После того, как мы вычислили площадь ромба, очень важно убедиться, что мы все сделали правильно. Для этого сравним наш результат с формулой, которую мы использовали.
Формула для расчета площади ромба состоит из двух частей: умножение диагоналей и деление на 2.
Мы рассчитали площадь ромба следующим образом:
Площадь = (диагональ1 * диагональ2) / 2
Где диагональ1 - длина первой диагонали, а диагональ2 - длина второй диагонали.
Чтобы проверить нашу работу, мы должны подставить значения диагоналей, которые мы использовали, и выполнить вычисления.
Например, если диагональ1 = 6 клеток, а диагональ2 = 8 клеток, то результат будет:
Площадь = (6 * 8) / 2 = 24
Если наш результат совпадает с этим значением, значит, наши расчеты верны. Если нет, то мы должны перепроверить наши вычисления и найти ошибку.
Помните, что правильные расчеты - залог успешного решения задачи!
Шаг 7: Ответить на задачу ОГЭ 2023
Теперь, когда мы знаем, как найти площадь ромба, мы можем приступить к решению задачи ОГЭ 2023. Давайте вспомним условие задачи:
В пустом квадрате $10 \times 10$ на клетчатой бумаге сделали так, как показано на рисунке. Синим цветом закрасили некоторые клетки. Какова площадь закрашенной части клеток?
Первым шагом в решении этой задачи будет посчитать площадь одного ромба, образованного закрашенными клетками. Мы показали, как это сделать в предыдущих шагах. Теперь найдем количество таких ромбов.
Заметим, что каждый ромб занимает 9 клеток (5 закрашенных и 4 незакрашенных). Также заметим, что каждый ромб можно разместить только внутри квадрата $8 \times 8$, иначе одна или несколько клеток ромба окажутся за пределами квадрата.
Таким образом, внутри квадрата нашлось $8 \times 8 = 64$ места для размещения ромбов. Каждый ромб занимает 9 клеток, поэтому количество ромбов будет равно $\frac{64}{9}$. Посчитаем:
$\frac{64}{9} = 7\frac{1}{9}$
Мы получили десять ромбов и остаток. Давайте оставим только целую часть числа ромбов и добавим еще один ромб, который состоит из центральных клеток квадрата $10 \times 10$. Получится, что всего у нас 11 закрашенных ромбов.
Теперь остается только найти площадь 11 закрашенных ромбов. Мы знаем, что площадь одного ромба равна 9 площадным единицам, поэтому площадь 11 ромбов будет равна $11 \cdot 9 = 99$ площадным единицам.
Таким образом, площадь закрашенной части клеток равна 99 площадным единицам.