Как найти ортонормированный базис — подробное объяснение и примеры решений для линейных пространств

Ортонормированный базис является одним из важных понятий в линейной алгебре и математическом анализе. Он играет важную роль во многих областях науки и применяется во множестве задач. Но что такое ортонормированный базис и как его найти?

Ортонормированный базис - это система линейно независимых векторов, каждый из которых имеет единичную длину и ортогонален всем другим векторам базиса. Кратко говоря, это набор векторов, которые независимы, перпендикулярны друг другу и имеют длину, равную единице.

Для того чтобы найти ортонормированный базис, нужно выполнить несколько шагов. Во-первых, выберите систему линейно независимых векторов, которые будут служить базисом. Затем нормируйте каждый вектор, разделив его на его длину, чтобы получить единичный вектор. В третьих, проверьте, что каждый вектор ортогонален всем остальным векторам базиса, то есть их скалярное произведение равно нулю.

Давайте рассмотрим пример. Пусть у нас есть система векторов: v₁ = (1, 2, 3), v₂ = (4, 5, 6) и v₃ = (7, 8, 9). Векторы линейно независимы, поэтому они могут служить базисом. Чтобы получить ортонормированный базис, сначала нормируем каждый вектор. Нормы векторов равны:

Оцените статью