Производная функции является важным понятием в математике и позволяет нам определить скорость изменения функции в каждой точке. Для функции f(x) = 3x^2 + 9 мы можем найти производную, используя правила дифференцирования исходных функций.
Итак, заданная функция f(x) = 3x^2 + 9 является суммой двух слагаемых: первое слагаемое — функция x^2, а второе слагаемое — константа 9. Для нахождения производной используем правило суммы производных:
f'(x) = (3x^2)’ + (9)’
Теперь найдем производные каждого слагаемого отдельно. Производная функции x^2 равна 2x, поскольку мы берем степень и умножаем на показатель степени.
С другой стороны, производная константы равна нулю, поскольку константа не изменяется при взятии производной.
Таким образом, мы получаем:
f'(x) = 2(3x) + 0
f'(x) = 6x
Таким образом, производная функции f(x) = 3x^2 + 9 равна 6x. Это означает, что скорость изменения функции в любой точке равна 6 разам величины аргумента функции в этой точке.
Формула для нахождения производной
Для нахождения производной функции f(x) = 3x^2 + 9, можно использовать общую формулу производной:
f'(x) = lim(h→0) [f(x + h) — f(x)] / h
В данном случае, мы хотим найти производную функции f(x) = 3x^2 + 9. Для этого, возьмем значение функции приближенно с некоторым шагом h и вычтем значение функции f(x) от него. Затем, поделим полученное разностное значение на сам шаг h и приблизим его к нулю, чтобы получить точное значение производной.
Применяя эту формулу к функции f(x) = 3x^2 + 9, получим:
f'(x) = lim(h→0) [(3(x + h)^2 + 9) — (3x^2 + 9)] / h
Упростив это выражение, мы получим:
f'(x) = lim(h→0) (6xh + 3h^2) / h
Упрощая дальше, мы получим:
f'(x) = lim(h→0) 6x + 3h
Таким образом, производная функции f(x) = 3x^2 + 9 равна 6x.
Итак, производная функции f(x) = 3x^2 + 9 равна f'(x) = 6x.
Пример решения
Чтобы найти производную функции f(x) = 3x^2 + 9, мы можем использовать правило дифференцирования степенной функции. В данном случае коэффициент при x^2 равен 3, поэтому мы умножаем его на показатель степени и уменьшаем степень на 1:
| Исходная функция | Производная |
|---|---|
| f(x) = 3x^2 + 9 | f'(x) = 6x |
Таким образом, производная функции f(x) = 3x^2 + 9 равна f'(x) = 6x.
Если нам понадобится найти значение производной в конкретной точке, мы можем подставить это значение вместо x в выражение для производной. Например, чтобы найти производную в точке x = 2, мы можем подставить 2 вместо x:
| Исходная функция | Производная |
|---|---|
| f(x) = 3x^2 + 9 | f'(x) = 6x |
| f'(2) = 6(2) = 12 |
Таким образом, значение производной функции f(x) = 3x^2 + 9 в точке x = 2 равно 12.