Понимание понятия «бесконечно малая последовательность» является одним из основных и важных элементов математического анализа. Бесконечно малые последовательности используются для определения пределов и для доказательства различных математических утверждений. В этой статье мы рассмотрим несколько примеров, которые помогут вам понять, как доказать, что последовательность является бесконечно малой.
Теперь давайте вспомним определение бесконечно малой последовательности. Последовательность будет считаться бесконечно малой, если предел ее элементов равен нулю, то есть каждый ее элемент стремится к нулю при некотором натуральном номере. Формально, для последовательности {a_n} справедливо следующее: для любого положительного числа ε существует такое натуральное число N, что для всех номеров n > N выполняется неравенство |a_n| < ε.
Один из примеров бесконечно малой последовательности — последовательность 1/n}, где n — натуральное число. Можно доказать, что предел этой последовательности равен нулю. Действительно, для любого положительного числа ε мы можем выбрать такое натуральное число N, чтобы для всех номеров n > N выполнялось неравенство является бесконечно малой.
Доказательство бесконечной малости последовательности в математике:
Пример 1: Рассмотрим последовательность a_n = 1/n. Чтобы доказать ее бесконечную малость, необходимо показать, что для любого положительного числа ε существует номер N, начиная с которого все элементы последовательности удовлетворяют неравенству |a_n — 0| < ε.
В данном случае, для любого положительного числа ε, можно выбрать номер N = 1/ε. Тогда, начиная с номера N, выполняется неравенство |a_n — 0| = |1/n — 0| = 1/n < 1/(1/ε) = ε.
Пример 2: Рассмотрим последовательность b_n = 1/(n^2). Для доказательства ее бесконечной малости также необходимо показать, что для любого положительного числа ε существует номер N, начиная с которого все элементы последовательности удовлетворяют неравенству |b_n — 0| < ε.
В данном случае, для любого положительного числа ε, можно выбрать номер N = 1/√ε. Тогда, начиная с номера N, выполняется неравенство |b_n — 0| = |1/(n^2) — 0| = 1/(n^2) < 1/(N^2) = ε.
Примеры, приведенные выше, демонстрируют способы доказательства бесконечной малости последовательностей. В обоих случаях, выбирая достаточно большой номер N, можно гарантировать, что все последующие элементы последовательности будут находиться очень близко к нулю, что и является определением бесконечной малости.
Пример 1: последовательность сходится к нулю
Для этого рассмотрим произвольное положительное число ε. Найдем такое натуральное число N, что для всех n > N выполняется неравенство 1/n < ε.
Учитывая, что последовательность an убывает при увеличении n и ограничена снизу нулем, можно утверждать, что такое N существует.
Теперь рассмотрим произвольное натуральное число n > N:
- Если взять ε = 0.1, то получим, что для n > 10 выполняется неравенство 1/n < 0.1.
- Если взять ε = 0.01, то получим, что для n > 100 выполняется неравенство 1/n < 0.01.
- И так далее, для любого произвольного ε > 0 найдется натуральное число N, начиная с которого выполняется неравенство 1/n < ε.
Таким образом, последовательность an является бесконечно малой, так как для любого положительного числа ε можно подобрать натуральное число N, начиная с которого выполняется неравенство 1/n < ε.
Пример 2: ограниченная последовательность
Рассмотрим, например, следующую последовательность:
{a_n} = {-\frac{1}{n}}
Эта последовательность состоит из отрицательных рациональных чисел, которые приближаются к нулю по мере увеличения значения n. Видно, что каждый элемент последовательности можно ограничить снизу, например, нулем, и каждый элемент будет меньше нуля. Таким образом, последовательность {a_n} будет ограниченной.
Вычислив предел этой последовательности:
lim (n→∞) {-\frac{1}{n}} = 0
мы видим, что она сходится к нулю. Это означает, что последовательность {a_n} бесконечно малая и одновременно ограниченная.
Таким образом, мы можем доказать, что последовательность является бесконечно малой, проверив, что она является ограниченной и сходится к нулю.
Пример 3: использование оценок для доказательства
Доказательство бесконечной малости последовательности может быть выполнено с использованием оценок для оценки разности между элементами последовательности и некоторым фиксированным числом, которое можно сделать сколь угодно малым.
Пусть дана последовательность {an}, где каждый элемент обозначен как an. Чтобы доказать, что последовательность является бесконечно малой, необходимо показать, что можно выбрать такой индекс N, что для всех n > N выполняется неравенство |an| < ε, где ε - произвольное положительное число.
Для этого используются оценки. Нужно найти формулы, которые позволят оценить элементы последовательности, чтобы эти оценки могли быть сделаны сколь угодно малыми, когда n стремится к бесконечности.
Пример:
Рассмотрим последовательность {an} = {(n+1)/(n+2)}. Чтобы доказать, что эта последовательность является бесконечно малой, мы можем использовать оценку для элементов этой последовательности.
Заметим, что для всех n элементы последовательности an можно записать в виде:
an = (n+1)/(n+2) = 1 — 1/(n+2)
Теперь мы можем оценить эту разность:
|an — 1| = |1 — 1/(n+2) — 1| = |1/(n+2)|
Мы хотим показать, что для любого произвольного положительного числа ε существует такое N, что для всех n > N выполняется неравенство |an — 1| < ε.
Выберем произвольное положительное число ε. Мы хотим найти такой индекс N, что |1/(n+2)| < ε для всех n > N.
Заметим, что если n > 1/ε — 2, то |1/(n+2)| < ε. Поэтому, выбирая N = 1/ε - 2, мы можем утверждать, что для всех n > N выполняется неравенство |an — 1| < ε.
Таким образом, мы доказали, что последовательность {(n+1)/(n+2)} является бесконечно малой, так как для любого произвольного положительного числа ε существует такое N, что для всех n > N выполняется неравенство |an — 1| < ε.