Докажите, что выпуклый четырехугольник АВСД является параллелограммом величиной площади по диагоналям и основаниям с равными углами

Параллелограмм — это особый вид четырехугольника, у которого противоположные стороны параллельны. Доказательство, что данная фигура является параллелограммом, может быть выполнено по разным способам. Наиболее простым и наглядным является доказательство на основе теоремы о соответствующих углах.

Теорема о соответствующих углах утверждает, что если две пары соответствующих углов четырехугольника равны, то этот четырехугольник – параллелограмм. Вернувшись к нашей фигуре АВСД, обозначим углы А и В как α и β соответственно, а углы В и С – как γ и δ соответственно. Очевидно, что это пары соответствующих углов.

Далее, будем пользоваться той же теоремой, которая утверждает, что сумма углов треугольника равна 180 градусам. В треугольнике ВСД углы γ и δ, значит, и их сумма, равна 180 градусам. Соответственно, сумма углов В, γ и δ также равна 180 градусам.

Свойства сторон параллелограмма

1. В параллелограмме противоположные стороны равны по длине.
2. Противоположные стороны параллелограмма параллельны и одинаково ориентированы.
3. Для параллелограмма характерно свойство, согласно которому сумма длин двух противоположных сторон равна сумме длин двух других противоположных сторон.
4. Стороны параллелограмма разделены диагоналями на три равные части.
5. Стороны параллелограмма взаимно перпендикулярны if and only if он является прямоугольником.

Критерии параллельности сторон

• Первый критерий — если противоположные стороны фигуры равны по длине и параллельны, то фигура является параллелограммом.
• Второй критерий — если противоположные стороны фигуры равны по длине, а смежные стороны фигуры параллельны, то фигура является параллелограммом.
• Третий критерий — если параллельные стороны фигуры имеют одинаковую длину, то фигура является параллелограммом.
• Четвёртый критерий — если диагонали параллелограмма делятся пополам, то фигура является параллелограммом.
• Пятый критерий — если сумма углов при основаниях параллелограмма равна 180 градусов, то фигура является параллелограммом.

При проверке параллельности сторон фигуры рекомендуется использовать несколько критериев одновременно для точного определения типа фигуры.

Геометрические доказательства

Одним из примеров геометрического доказательства является доказательство параллелограмма АВСД. Для этого доказательства используется принцип соответствующих углов.

Рассмотрим параллелограмм АВСД. По определению параллелограмма, противоположные стороны параллельны.

Пусть АБ и СД — противоположные стороны. Проведём прямую ВЕ, параллельную СД и проходящую через точку А. Мы знаем, что АВ и СД параллельны, следовательно, и ВЕ и СД также параллельны. Тогда по теореме о соответствующих углах, угол ВАЕ равен углу СДА.

Аналогично проведём прямую ДЖ параллельную АВ и проходящую через точку С. Также проведём прямые АГ и ВК, параллельные ДС.

Теперь рассмотрим треугольник АВЕ. У него две параллельных стороны: АВ и ВЕ. Также из предыдущего доказательства мы знаем, что угол ВАЕ равен углу СДА.

Аналогично рассмотрим треугольники ДАГ, ВДЖ и ВСК и убедимся, что у каждого из них две параллельные стороны и равные соответствующие углы.

Таким образом, мы доказали, что все четыре стороны параллелограмма параллельны и противоположные углы равны. Следовательно, фигура АВСД является параллелограммом.