Доказательство суммы внешних углов выпуклого многоугольника является одним из важных теорем в геометрии. Эта теорема устанавливает, что сумма всех внешних углов, образованных продолжениями сторон многоугольника, всегда равна 360 градусам.
Доказательство этой теоремы можно провести пошагово. Первый шаг состоит в установлении факта, что каждый внешний угол, образованный продолжением одной из сторон, равен сумме двух внутренних углов смежных сторон многоугольника. Данный факт можно выразить следующим образом:
Факт 1: Внешний угол многоугольника равен сумме двух внутренних углов, смежных со стороной, образующей данный внешний угол.
Чтобы доказать этот факт, достаточно учесть, что сумма углов треугольника всегда равна 180 градусам, а углы, обнесенные вокруг точки, также равны 360 градусам. Исходя из этого, можно легко показать, что внешний угол многоугольника равен сумме двух внутренних углов, смежных со стороной, образующей данный внешний угол.
Зная факт 1, можно приступить ко второму шагу доказательства. Второй шаг состоит в замечании, что каждый внутренний угол многоугольника и его смежный внешний угол образуют линейную пару. Другими словами, сумма внутреннего и внешнего углов, образованных одной и той же стороной многоугольника, равна 180 градусам. Формализуется это замечание следующим образом:
Доказательство суммы внешних углов выпуклого многоугольника
Сумма внешних углов выпуклого многоугольника равна 360°. Это утверждение может быть доказано с использованием геометрических свойств и связей между углами и сторонами многоугольника.
Рассмотрим выпуклый многоугольник с n сторонами. Углы, образованные смежными сторонами многоугольника и продолжением каждой из них, называются внешними углами многоугольника.
Для доказательства суммы внешних углов, рассмотрим n-1 смежный внешний угол на каждой стороне многоугольника. Как мы знаем, сумма углов треугольника равна 180°, поэтому сумма углов n-1 треугольников будет равной (n-1) * 180°.
Каждый из этих треугольников имеет общий внешний угол, который образуется продолжением одной из сторон многоугольника. Сумма всех внешних углов многоугольника будет равна сумме всех этих общих внешних углов.
Так как сумма внешних углов каждого треугольника равна 180°, а треугольников n-1, то сумма всех общих внешних углов также будет равна (n-1) * 180°.
Но нам нужно выразить это в терминах суммы внешних углов многоугольника. Так как каждый внешний угол многоугольника образуется смежными сторонами и продолжением каждой из них, то сумма всех внешних углов равна сумме всех общих внешних углов.
Итак, сумма внешних углов выпуклого многоугольника равна (n-1) * 180°.
Теперь рассмотрим особый случай, когда n = 3, то есть имеем треугольник. В этом случае сумма внешних углов будет равна (3-1) * 180° = 2 * 180° = 360°.
Таким образом, мы доказали, что сумма внешних углов выпуклого многоугольника равна 360°.
Пошаговое доказательство
Для доказательства суммы внешних углов выпуклого многоугольника удобно использовать теорию углов и свойства органиченных фигур. Рассмотрим каждый шаг доказательства:
Шаг 1: Разделим многоугольник на треугольники, проведя диагонали из одной его вершины к остальным вершинам.
Шаг 2: Обозначим внешние углы многоугольника как ∡A, ∡B, ∡C, …, ∡N.
Шаг 3: Рассмотрим треугольник, состоящий из вершины многоугольника и двух соседних вершин, например, треугольник ABC.
Шаг 4: Определим внутренний угол ∡X треугольника ABC как ∡X = 180° — ∡A — ∡B. Этот угол получается из суммы углов треугольника, вычитая внешний угол ∡A и внутренний угол ∡B.
Шаг 5: Заметим, что сумма всех внутренних углов треугольника равна 180°, следовательно, ∡X + ∡A + ∡B = 180°.
Шаг 6: Поскольку внутренний угол ∡X равен 180° — ∡A — ∡B, мы можем записать:
∡X + ∡A + ∡B = (180° — ∡A — ∡B) + ∡A + ∡B = 180°.
Шаг 7: Применим полученное равенство ко всем треугольникам в многоугольнике.
Шаг 8: Заметим, что каждый внешний угол многоугольника является внутренним углом некоторого треугольника, поэтому сумма всех внешних углов равна сумме всех внутренних углов многоугольника.
Шаг 9: Следовательно, сумма всех внешних углов выпуклого многоугольника равна 360°.