Доказательство равенства следа ab и следа ba – интересная математическая проблема, заложенная в основу теории линейных операторов

След это сумма элементов главной диагонали матрицы, то есть сумма элементов a₁₁, a₂₂, …, a_nn. Понятие следа матрицы имеет важное значение в линейной алгебре и находит применение в различных областях, включая физику, экономику и компьютерную графику.

Для матриц a и b размерности n x m мы можем рассмотреть произведение ab и ba. Такой интерес вызван вопросом о равенстве следов этих произведений. Существует теорема, которая утверждает, что следы этих произведений равны при выполнении только двух условий: когда количество столбцов матрицы a равно количеству строк матрицы b и размерности матриц являются положительными целыми числами.

Доказательство этой теоремы может быть выполнено с использованием свойств следа и матричного умножения. Первое условие следует из коммутативности произведения чисел при сложении, тогда как второе условие особенно важно для обеспечения согласованности операций.

Теоретическое объяснение

Тождество Гильберта-Шмидта:

Равенство следа матриц ab и ba будет доказано с использованием теоремы Гильберта-Шмидта. Данная теорема устанавливает равенство следа двух квадратных матриц, имеющих одинаковые элементы, но расположенные в другом порядке. Таким образом, если существуют матрицы A и B такие, что каждый элемент матрицы AB равен элементу матрицы BA, то след матрицы AB будет равен следу матрицы BA.

Доказательство:

Пусть A и B – квадратные матрицы размерности n. Тогда n-тым элементом следа матрицы A*B является сумма произведений элементов главной диагонали матрицы A*B:

tr(AB) = ∑(A*B)_ii

Аналогично, n-тым элементом следа матрицы B*A будет сумма произведений элементов главной диагонали матрицы B*A:

tr(BA) = ∑(B*A)_ii

Так как каждый элемент матрицы A*B равен элементу матрицы B*A, тоAB_ii = B*A_ii

Отсюда следует, что

A_ii*B_ii = B_ii*A_ii

Так как эти равенства выполняются для любого i, то сумма произведений элементов главной диагонали матриц A*B и B*A будет одинаковой:

∑(A*B)_ii = ∑(B*A)_ii

Следовательно, след матрицы A*B равен следу матрицы B*A:

tr(AB) = tr(BA)

Примеры и иллюстрации

Для наглядного понимания доказательства равенства следа ab и следа ba, рассмотрим несколько примеров.

1. Пусть матрицы a и b имеют размерность 2×2:

   a = {{1, 2}, {3, 4}}

   b = {{5, 6}, {7, 8}}

   Тогда следы этих матриц равны:

   tr(ab) = tr({{1, 2}, {3, 4}}*{{5, 6}, {7, 8}}) = tr({{19, 22}, {43, 50}}) = 19 + 50 = 69

   tr(ba) = tr({{5, 6}, {7, 8}}*{{1, 2}, {3, 4}}) = tr({{23, 34}, {31, 46}}) = 23 + 46 = 69

   Оба следа равны 69, что подтверждает справедливость равенства следа ab и следа ba.

2. Рассмотрим теперь матрицы a и b размерности 3×3:

   a = {{2, 4, 6}, {1, 3, 5}, {7, 8, 9}}

   b = {{9, 8, 7}, {5, 6, 1}, {3, 4, 2}}

   Следы этих матриц имеют следующие значения:

   tr(ab) = tr({{2, 4, 6}, {1, 3, 5}, {7, 8, 9}}*{{9, 8, 7}, {5, 6, 1}, {3, 4, 2}}) = tr({{76, 64, 33}, {54, 45, 19}, {130, 112, 60}}) = 76 + 45 + 60 = 181

   tr(ba) = tr({{9, 8, 7}, {5, 6, 1}, {3, 4, 2}}*{{2, 4, 6}, {1, 3, 5}, {7, 8, 9}}) = tr({{70, 112, 154}, {18, 29, 40}, {15, 24, 33}}) = 70 + 29 + 33 = 132

   В данном случае следы не равны друг другу, что также подтверждает теорему о равенстве следов ab и ba.

Эти примеры иллюстрируют доказательство равенства следа ab и следа ba и помогают лучше понять данное свойство матриц.