Доказательство коммутативности матриц А и В — простое объяснение и примеры

Коммутативность — одно из фундаментальных понятий в алгебре, которое описывает свойство операции возвращать одинаковый результат независимо от порядка применения элементов. В контексте матриц, коммутативность означает, что результат умножения двух матриц не зависит от их порядка.

Доказательство коммутативности матриц А и В основано на особенностях операции умножения матриц. Пусть у нас имеются две матрицы А и В размерности (n x m) и (m x k) соответственно. Умножение матриц происходит по правилу, что элемент c(i,j) произведения матриц А и В равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы A и j-го столбца матрицы B.

Докажем коммутативность матриц путем приведения примера. Рассмотрим матрицы A и В размерности (2 x 2) и вычислим их произведения в двух порядках: АВ и ВА.

Матрица А:

a11 a12

a21 a22

Матрица В:

b11 b12

b21 b22

Вычислим произведение АВ:

(a11*b11 + a12*b21) (a11*b12 + a12*b22)

(a21*b11 + a22*b21) (a21*b12 + a22*b22)

Теперь вычислим произведение ВА:

(b11*a11 + b12*a21) (b11*a12 + b12*a22)

(b21*a11 + b22*a21) (b21*a12 + b22*a22)

Как видно из результатов, произведения матриц АВ и ВА равны. Это доказывает коммутативность матриц А и В.

Доказательство коммутативности матриц А и В

Коммутативность матриц А и В имеет место, если при их умножении порядок сомножителей не важен, то есть AB = BA.

Для доказательства коммутативности матриц А и В необходимо продемонстрировать, что умножение матриц можно провести в обоих порядках без изменения результата. Для этого рассмотрим матрицы А и В следующего вида:

A = (a₁₁ a₁₂ a₁₃)

(a₂₁ a₂₂ a₂₃)

B = (b₁₁ b₁₂ b₁₃)

(b₂₁ b₂₂ b₂₃)

Мы можем вычислить результат умножения матриц AB. Результат будет матрицей размером 2×3, где каждый элемент вычисляется как скалярное произведение соответствующих строк матрицы A и столбцов матрицы B:

AB = (a₁₁*b₁₁ + a₁₂*b₂₁ + a₁₃*b₃₁ a₁₁*b₁₂ + a₁₂*b₂₂ + a₁₃*b₃₂ a₁₁*b₁₃ + a₁₂*b₂₃ + a₁₃*b₃₃)

(a₂₁*b₁₁ + a₂₂*b₂₁ + a₂₃*b₃₁ a₂₁*b₁₂ + a₂₂*b₂₂ + a₂₃*b₃₂ a₂₁*b₁₃ + a₂₂*b₂₃ + a₂₃*b₃₃)

Аналогично, можно вычислить результат умножения матриц BA:

BA = (b₁₁*a₁₁ + b₁₂*a₂₁ + b₁₃*a₃₁ b₁₁*a₁₂ + b₁₂*a₂₂ + b₁₃*a₃₂ b₁₁*a₁₃ + b₁₂*a₂₃ + b₁₃*a₃₃)

(b₂₁*a₁₁ + b₂₂*a₂₁ + b₂₃*a₃₁ b₂₁*a₁₂ + b₂₂*a₂₂ + b₂₃*a₃₂ b₂₁*a₁₃ + b₂₂*a₂₃ + b₂₃*a₃₃)

Если сравнить AB и BA, видно, что каждый элемент соответствует скалярному произведению строк и столбцов матрицы в разных порядках. Таким образом, AB = BA, что доказывает коммутативность матриц А и В.

Определение коммутативности матриц

Для двух матриц A и B коммутативность означает, что A * B = B * A.

Если матрицы коммутативны, то можно менять их порядок в умножении без изменения результата. Важно отметить, что коммутативность применима только к операции умножения матриц.

Давайте рассмотрим пример для лучшего понимания. Пусть даны две матрицы:

A = [2 4] B = [1 3]

[6 8] [2 4]

Тогда результат умножения матриц будет:

A * B = [2*1 + 4*2 2*3 + 4*4] = [10 22]

[6*1 + 8*2 6*3 + 8*4] [22 50]

А результат умножения матриц в обратном порядке будет:

B * A = [1*2 + 3*6 1*4 + 3*8] = [20 28]

[2*2 + 4*6 2*4 + 4*8] [16 32]

Видим, что A * B ≠ B * A, поэтому эти матрицы не коммутативны.

Доказательство коммутативности через умножение

Пусть у нас есть две матрицы A и B размером n×m и m×p соответственно. Результатом их умножения будет матрица C размером n×p, где элементы матрицы С вычисляются по формуле:

С_ij = ∑(k=1 до m) A_ik * B_kj

Для доказательства коммутативности матриц через умножение необходимо показать, что произведение АВ равно произведению ВА:

AB = BA

Рассмотрим элементы матрицы АВ:

(AB)_ij = ∑(k=1 до m) A_ik * B_kj

Рассмотрим элементы матрицы ВА:

(BA)_ij = ∑(k=1 до m) B_ik * A_kj

По свойствам умножения матриц, можно заметить, что для коммутативности двух матриц необходимо выполнение следующего условия:

∑(k=1 до m) A_ik * B_kj = ∑(k=1 до m) B_ik * A_kj

Таким образом, если для всех элементов исходных матриц A и B выполняется равенство ∑(k=1 до m) A_ik * B_kj = ∑(k=1 до m) B_ik * A_kj, то матрицы А и В коммутативны.

Рассмотрим пример матрицы А размером 2×3 и матрицы В размером 3×2:

Матрица А:

| 1  2  3 |
| 4  5  6 |

Матрица В:

| 7  8 |
| 9  10 |
| 11 12 |

Выполним умножение матриц АВ:

| 1*7+2*9+3*11  1*8+2*10+3*12 |
| 4*7+5*9+6*11  4*8+5*10+6*12 |

| 58  64 |
| 139 154 |

Выполним умножение матриц ВА:

| 7*1+8*4  7*2+8*5  7*3+8*6 |
| 9*1+10*4  9*2+10*5  9*3+10*6 |
| 11*1+12*4 11*2+12*5 11*3+12*6 |

| 39  54  69 |
| 49  68  87 |
| 59  82  105 |

Как видно из примера, произведения АВ и ВА равны между собой, то есть матрицы А и В являются коммутативными.