Функция — одно из важнейших понятий математики. Ее график позволяет наглядно представить зависимость между независимой и зависимой переменными. В данной статье мы рассмотрим функцию 7cos4х+3х² и докажем, что она является четной.
Четной функцией называется функция, график которой симметричен относительно оси ординат. На примере функции 7cos4х+3х² мы покажем, как это свойство можно доказать с помощью таблицы значений и графика.
Для начала рассмотрим таблицу значений функции при различных значениях аргумента. Подставим в функцию несколько положительных и отрицательных значений x и найдем значения функции:
| x | 7cos4х+3х² |
|---|---|
| 2 | 61.6 |
| 1 | 23 |
| 0 | 3 |
| -1 | 23 |
| -2 | 61.6 |
Из таблицы можно заметить, что при отрицательном значении аргумента функция принимает такие же значения, как и при положительном значении, но с противоположным знаком. То есть, значения функции при отрицательных значениях аргумента симметричны значениям при положительных значениях аргумента.
Для подтверждения полученных результатов построим график функции 7cos4х+3х². На оси абсцисс откладываются значения аргумента x, на оси ординат — значения функции. Видно, что график симметричен относительно оси ординат, что подтверждает четность функции.
Таблица значений
Для доказательства четности функции 7cos4х+3х² была составлена таблица значений, где значения аргумента х изменяются от -π до π.
Для каждого значения аргумента х была найдена соответствующая ему функция:
- При х = -π, функция равна 7cos4(-π)+3(-π)² = 7.
- При х = -3π/4, функция равна 7cos4(-3π/4)+3(-3π/4)² = 4.
- При х = -π/2, функция равна 7cos4(-π/2)+3(-π/2)² = -1.
- При х = -π/4, функция равна 7cos4(-π/4)+3(-π/4)² = 8.
- При х = 0, функция равна 7cos4(0)+3(0)² = 7.
- При х = π/4, функция равна 7cos4(π/4)+3(π/4)² = 8.
- При х = π/2, функция равна 7cos4(π/2)+3(π/2)² = -1.
- При х = 3π/4, функция равна 7cos4(3π/4)+3(3π/4)² = 4.
- При х = π, функция равна 7cos4(π)+3π² = 7.
На основе таблицы значений видно, что функция является четной, так как значения функции симметричны относительно оси ординат.
Симметричность функции
В случае функции 7cos4х+3х², чтобы определить ее симметричность, необходимо проверить, сохраняются ли значения функции при замене x на -x. Для этого можно построить таблицу значений функции для нескольких аргументов и их противоположных значений:
| x | f(x) | f(-x) |
|---|---|---|
| 0 | 7 | 7 |
| 1 | 7.605 | 7.605 |
| 2 | 10.336 | 10.336 |
| 3 | 13.594 | 13.594 |
Из таблицы видно, что значения функции при замене аргумента на противоположное значение сохраняются. Это означает, что функция 7cos4х+3х² является четной функцией и симметрична относительно оси ординат.
Графически четность функции можно проиллюстрировать следующим образом:
График функции:
Здесь должен быть график функции 7cos4х+3х², изображающий ее симметричность относительно оси ординат.
Анализ знаков функции
Анализ знаков функции позволяет определить интервалы, на которых функция положительна, отрицательна или равна нулю. В данном случае, рассматривается функция 7cos4x+3x^2.
Для начала, проанализируем знак выражения 7cos4x. Очевидно, что cos4x определен для любых значений x. Также известно, что cos4x принимает значения от -1 до 1. Умножение на положительное число 7 не меняет знака функции, поэтому 7cos4x будет положительным на интервалах, где cos4x положителен, и отрицательным на интервалах, где cos4x отрицателен.
Анализируем знак выражения 3x^2. Очевидно, что x^2 положителен для любых значений x, кроме x=0. Умножение на положительное число 3 также не меняет знака функции, поэтому 3x^2 положителен на интервалах, где x^2 положителен, и равен нулю на интервале x=0.
Исходя из этого, определяем знак функции 7cos4x+3x^2 на различных интервалах:
— На интервалах, где cos4x положителен и x^2 не равен нулю, функция положительна.
— На интервалах, где cos4x отрицателен и x^2 не равен нулю, функция отрицательна.
— На точке x=0, функция равна нулю.
На графике функции 7cos4x+3x^2 можно увидеть эти интервалы и точки:
График функции
Для построения графика функции 7cos4х+3х² можно использовать методы математического анализа. Перед тем, как строить график, необходимо определить область определения функции, особые точки и асимптоты.
Область определения функции задается условием, при котором все слагаемые имеют смысл. В данном случае 7cos4х определена для любого значения x, так как cos4х определена для любого значения х, а 3х² имеет смысл для любого х.
Особые точки функции определяются из условия, при котором функция меняет свой характер. Найдем значения x, при которых 7cos4х+3х²=0. Решив это уравнение, получим:
- x = 0
- x = ±0.5π
- x = ±π
- x = ±1.5π
- x = ±2π
- и т.д.
Таким образом, особые точки функции являются кратными значениями π.
Асимптоты функции определяются приближенным значением функции на бесконечности. В данном случае, так как функция 7cos4х ограничена в диапазоне [-7, 7], то асимптоты отсутствуют.
Построим график функции, используя полученную информацию:
Кратные точки
Чтобы найти кратные точки, нужно найти значения аргумента, при которых функция равна нулю. То есть, нужно решить уравнение 7cos4х+3х² = 0.
Для этого можно использовать таблицу значений или график функции. В данной статье мы будем использовать график для наглядности.
На графике функции 7cos4х+3х² мы можем заметить, что ось абсцисс пересекается два раза. Это означает, что у данной функции есть две кратные точки.
Первая кратная точка находится примерно при х ≈ -2.5, а вторая – при х ≈ 0.5. Проверим это, решив уравнение:
7cos4х+3х² = 0
Кратные точки:
1. При х ≈ -2.5:
7cos4(-2.5) + 3(-2.5)² = -5.032
2. При х ≈ 0.5:
7cos4(0.5) + 3(0.5)² = 5.032
Таким образом, функция 7cos4х+3х² имеет кратные точки при х ≈ -2.5 и х ≈ 0.5.