Численные выражения в математике позволяют нам решать сложные задачи и вычислять значения функций при различных аргументах. Один из таких примеров — выражение 2sin150 + 4cos120 + 2tg45sin120ctg150. Давайте разберемся, как его решить и получить численный результат.
Для начала вспомним основные тригонометрические функции, которые участвуют в нашем выражении: синус (sin), косинус (cos) и тангенс (tg). Каждая из этих функций имеет свои особенности и связи с другими функциями. В нашем случае, нам понадобятся значения синуса и косинуса для углов 150 и 120 градусов, а также тангенса для угла 45 градусов.
Чтобы решить данное выражение, мы можем использовать таблицу значений тригонометрических функций или калькулятор с функциями sin, cos и tg. Давайте последовательно вычислим каждое слагаемое в выражении и сложим их вместе.
Численное значение выражения 2sin150 + 4cos120 + 2tg45sin120ctg150
Для нахождения численного значения данного выражения, воспользуемся тригонометрическими свойствами и расчетами:
| Тригонометрическое выражение | Численное значение |
|---|---|
| sin150 | 0.5 |
| cos120 | -0.5 |
| tg45 | 1 |
| sin120 | sqrt(3)/2 |
| ctg150 | -sqrt(3) |
Подставляя численные значения в выражение получаем:
2 * 0.5 + 4 * (-0.5) + 2 * 1 * sqrt(3)/2 * (-sqrt(3))
Упрощая выражение, получаем:
1 — 2 + (-3)
Итоговое численное значение выражения равно -4.
Пример решения
Дано выражение: 2sin150 + 4cos120 + 2tg45sin120ctg150
Выполним подстановку значений синуса и косинуса для углов 150° и 120°:
| Выражение | Значение |
|---|---|
| 2sin150 | 2 * (-0.5) = -1 |
| 4cos120 | 4 * (-0.5) = -2 |
| 2tg45sin120ctg150 (сначала вычислим tg45 и ctg150, а затем выполним умножение) | 2 * 1 * (-0.5) * (1 / (-0.5)) = -4 |
Сложим полученные значения:
-1 + (-2) + (-4) = -7
Итак, численное значение выражения равно -7.
Решение и численный результат выражения:
Для вычисления данного выражения, вначале найдем значения синуса, косинуса и тангенса для углов 150, 120 и 45 градусов соответственно:
- sin(150°) = 0.5
- cos(120°) = -0.5
- tg(45°) = 1
- sin(120°) = √3/2 ≈ 0.866
- ctg(150°) = -1
Теперь подставим найденные значения в выражение:
2sin150 + 4cos120 + 2tg45sin120ctg150 = 2 * 0.5 + 4 * (-0.5) + 2 * 1 * 0.866 * (-1) = 1 — 2. + (-1.732) = -2.732
Итого, численным результатом данного выражения является число -2.732.
Шаг 1: Расчет sin(150)
Таким образом, sin(150) = sin(180 — 150) = sin(30).
Зная, что sin(30) = 0.5, мы можем подставить это значение в выражение.
Шаг 2: Расчет cos(120)
Для расчета значения cos(120) воспользуемся тригонометрическими свойствами. Так как значение угла 120 градусов находится в третьем квадранте, то значение функции cos будет отрицательным.
Воспользуемся формулой cos(180 — x) = -cos(x).
Таким образом, cos(120) = -cos(60).
Зная, что cos(60) = 0.5, получаем, что cos(120) = -0.5.
Шаг 3: Расчет tg(45)
Для расчета значения тангенса угла 45 градусов (tg(45)) воспользуемся следующей формулой:
tg(α) = sin(α) / cos(α)
В нашем случае α = 45 градусов, поэтому:
tg(45) = sin(45) / cos(45)
Используя значения синуса и косинуса угла 45 градусов из таблицы:
sin(45) = 0.7071067812
cos(45) = 0.7071067812
Подставляя эти значения в формулу, получаем:
tg(45) = 0.7071067812 / 0.7071067812 = 1
Тангенс угла 45 градусов равен 1.
Шаг 4: Расчет sin(120) и ctg(150)
Для решения выражения нам необходимо вычислить значения sin(120) и ctg(150).
Значение синуса угла 120 градусов можно найти, используя тригонометрическую формулу:
sin(A + B) = sin(A)cos(B) + cos(A)sin(B)
Здесь A = 90 градусов, а B = 30 градусов. Подставим значения в формулу:
sin(120) = sin(90 + 30) = sin(90)cos(30) + cos(90)sin(30).
Так как sin(90) = 1 и cos(90) = 0, получаем:
sin(120) = 1*cos(30) + 0*sin(30).
Значение косинуса 30 градусов можно найти в таблице тригонометрических значений или с помощью калькулятора. Оно равно 0.866.
Подставив это значение в формулу, получаем:
sin(120) = 1*0.866 + 0*sin(30) = 0.866.
Теперь рассчитаем значение котангенса угла 150 градусов. Котангенс это обратная функция тангенсу, поэтому:
ctg(A) = 1/tan(A)
Значение тангенса 150 градусов можно найти, используя тригонометрическую формулу:
tan(A-B) = (tan(A) — tan(B))/(1 + tan(A)tan(B))
Здесь A = 180 градусов, а B = 30 градусов. Подставим значения в формулу:
tan(150) = tan(180 — 30) = (tan(180) — tan(30))/(1 + tan(180)tan(30)).
Так как tan(180) = 0 и tan(30) = 0.577, получаем:
tan(150) = (0 — 0.577)/(1 + 0*0.577).
Упрощая выражение, получаем:
tan(150) = -0.577.
Таким образом, мы получили значения sin(120) = 0.866 и ctg(150) = -0.577.