Выборочная дисперсия по средней — это статистическая мера, которая используется для измерения разброса значений в выборке относительно их среднего значения. Она показывает, насколько значения в выборке отклоняются от среднего значения и позволяет измерить степень изменчивости данных.
Для вычисления выборочной дисперсии по средней необходимо взять каждое значение из выборки, вычесть из него среднее значение выборки, возведя результат в квадрат. Затем все полученные значения складываются и делятся на количество значений в выборке, минус один. Таким образом, формула выборочной дисперсии по средней выглядит следующим образом:
S2 = Σ(xi — x̄)2 / (n — 1),
где S2 — выборочная дисперсия по средней, xi — значение из выборки, x̄ — среднее значение выборки, Σ — сумма, n — количество значений в выборке.
Давай рассмотрим пример. У нас есть следующая выборка: 4, 6, 8, 10, 12. Сначала найдем среднее значение выборки. Оно равно (4+6+8+10+12) / 5 = 8. Затем вычислим отклонение каждого значения от среднего значения и возведем результаты в квадрат: (4-8)2, (6-8)2, (8-8)2, (10-8)2, (12-8)2. После этого сложим все полученные значения и разделим на количество значений в выборке, минус один. В результате получим выборочную дисперсию по средней.
Что такое выборочная дисперсия по средней
Для вычисления выборочной дисперсии по средней необходимо разбить выборку на несколько подвыборок (обычно случайным образом) и вычислить среднее значение каждой подвыборки. Затем вычисляется среднее значение всех подвыборочных средних и сравнивается с средним значением всей выборки.
Если значения подвыборочных средних близки к среднему значению всей выборки, то выборочная дисперсия по средней будет низкой, что указывает на небольшую вариацию в данных. Если же значения подвыборочных средних имеют большое различие с средним значением всей выборки, то выборочная дисперсия по средней будет высокой, что указывает на большую вариацию в данных.
Выборочная дисперсия по средней часто используется в исследованиях и статистических анализах, чтобы оценить, насколько средние значения различных групп данных отличаются друг от друга и от общего среднего значения. Этот показатель помогает определить, насколько надежны и обобщаемы результаты исследования.
Определение выборочной дисперсии по средней
Для вычисления выборочной дисперсии по средней необходимо:
- Вычислить среднее значение выборки.
- Вычислить отклонение каждого значения выборки от среднего значения.
- Возвести каждое отклонение в квадрат.
- Суммировать все квадраты отклонений.
- Разделить сумму квадратов отклонений на количество значений выборки минус 1.
Математическая формула для вычисления выборочной дисперсии по средней выглядит следующим образом:
Выборочная дисперсия по средней = Σ(xi — x̄)2 / (n — 1)
Где:
- Σ — знак суммы;
- xi — каждое значение выборки;
- x̄ — среднее значение выборки;
- n — количество значений выборки.
Выборочная дисперсия по средней позволяет оценить, насколько среднее значение выборки является представительным для всей генеральной совокупности. Чем больше выборочная дисперсия по средней, тем больше разброс значений в выборке относительно их среднего значения.
Формула выборочной дисперсии по средней
| Имя формулы: | Выборочная дисперсия по средней |
| Формула: |
|
| Где: |
|
Эта формула позволяет нам вычислить выборочную дисперсию по средней по любой выборке, используя значения выборки и ее среднее значение.
Важно отметить, что выборочная дисперсия по средней является несмещенной оценкой и служит для оценки разброса значений в выборке.
Пример 1 выборочной дисперсии по средней
Предположим, что у нас есть выборка из 10 оценок студентов за экзамен: 5, 7, 6, 8, 9, 3, 4, 7, 6, 5. Мы хотим вычислить выборочную дисперсию по средней для этой выборки.
Шаг 1: Найдем среднее значение выборки. Для этого сложим все оценки и поделим на общее количество оценок: (5+7+6+8+9+3+4+7+6+5)/10 = 60/10 = 6.
Шаг 2: Вычтем среднее значение из каждого элемента выборки и возведем результат в квадрат. Получим следующие значения: (5-6)², (7-6)², (6-6)², (8-6)², (9-6)², (3-6)², (4-6)², (7-6)², (6-6)², (5-6)².
Шаг 3: Сложим все полученные значения из шага 2: (5-6)² + (7-6)² + (6-6)² + (8-6)² + (9-6)² + (3-6)² + (4-6)² + (7-6)² + (6-6)² + (5-6)² = 16 + 1 + 0 + 4 + 9 + 9 + 4 + 1 + 0 + 1 = 45.
Шаг 4: Разделим полученную сумму на общее количество элементов выборки минус единица: 45 / (10-1) = 45/9 = 5.
Таким образом, выборочная дисперсия по средней для данной выборки равна 5.
Пример 2 выборочной дисперсии по средней
Допустим, у нас есть выборка из 10 значений:
| № | Значение |
|---|---|
| 1 | 5 |
| 2 | 7 |
| 3 | 9 |
| 4 | 10 |
| 5 | 2 |
| 6 | 4 |
| 7 | 6 |
| 8 | 3 |
| 9 | 8 |
| 10 | 1 |
Для того чтобы найти выборочную дисперсию по средней, мы должны сначала вычислить выборочное среднее. Суммируем все значения и делим на количество значений:
(5 + 7 + 9 + 10 + 2 + 4 + 6 + 3 + 8 + 1) / 10 = 55 / 10 = 5.5
Выборочное среднее равно 5.5.
Затем мы должны вычислить отклонение каждого значения от выборочного среднего и возведём каждое отклонение в квадрат:
| № | Значение | Отклонение от среднего | Отклонение в квадрате |
|---|---|---|---|
| 1 | 5 | -0.5 | 0.25 |
| 2 | 7 | 1.5 | 2.25 |
| 3 | 9 | 3.5 | 12.25 |
| 4 | 10 | 4.5 | 20.25 |
| 5 | 2 | -3.5 | 12.25 |
| 6 | 4 | -1.5 | 2.25 |
| 7 | 6 | 0.5 | 0.25 |
| 8 | 3 | -2.5 | 6.25 |
| 9 | 8 | 2.5 | 6.25 |
| 10 | 1 | -4.5 | 20.25 |
Теперь мы суммируем все квадраты отклонений:
0.25 + 2.25 + 12.25 + 20.25 + 12.25 + 2.25 + 0.25 + 6.25 + 6.25 + 20.25 = 82.5
Выборочная дисперсия по средней равна:
82.5 / (10 — 1) = 82.5 / 9 = 9.167
Выборочная дисперсия по средней в данном примере равна примерно 9.167.