Векторы – это математические объекты, которые используются для представления различных величин, например, силы, скорости или смещения. Сложение векторов – одна из основных операций, которая позволяет получить новый вектор, равный сумме двух или более векторов. В данной статье мы рассмотрим формулу для вычисления суммы векторов с помощью правила многоугольника и предоставим несколько примеров для наглядности.
Формула для вычисления суммы векторов в правиле многоугольника основана на свойствах параллелограмма. Если имеется два вектора A и B, то их сумма C равна вектору, который имеет ту же длину и направление, что и диагональ параллелограмма, образованного этими векторами. Другими словами, чтобы сложить векторы A и B, нужно провести вектор от начала вектора A до конца вектора B.
Формула для вычисления суммы векторов:
C = A + B
Применение этой формулы в правиле многоугольника демонстрируется следующим образом:
Пример 1:
Даны векторы A (3, 4) и B (2, -1).
Найдем вектор суммы C.
Следуя правилу многоугольника, мы проводим вектор от начала вектора A (начало координат) до конца вектора B (3 + 2 = 5 по оси x и 4 + (-1) = 3 по оси y).
Таким образом, вектор суммы C = (5, 3).
Пример 2:
Даны векторы A (-2, 5) и B (6, -3).
Найдем вектор суммы C.
Вектор суммы C будет равен вектору, образованному диагональю параллелограмма, образованного векторами A и B. Для этого нужно сложить соответствующие компоненты векторов: -2 + 6 = 4 по оси x и 5 + (-3) = 2 по оси y.
Таким образом, вектор суммы C = (4, 2).
Таким образом, формула для вычисления суммы векторов в правиле многоугольника позволяет легко находить новый вектор по заданным векторам. Это очень полезное математическое свойство, которое находит свое применение в различных областях, таких как физика, геометрия и программирование.
Определение правила многоугольника
Для определения суммы векторов в правиле многоугольника необходимо сложить все векторы, образующие многоугольник, начиная с одного произвольного вектора и двигаясь по часовой стрелке (или против часовой стрелки). Результатом будет вектор, который является суммой всех векторов многоугольника.
Правило многоугольника удобно использовать при решении задач геометрии, таких как определение периметра и площади многоугольника, а также определение его свойств, например, равносторонности или равноугольности.
Важно отметить, что правило многоугольника работает только для замкнутых многоугольников, то есть таких, у которых последний и первый векторы совпадают. Если многоугольник не является замкнутым, для его вычисления необходимо использовать другие методы.
Сумма векторов в правиле многоугольника: формула
Формула для нахождения суммы векторов в правиле многоугольника выглядит следующим образом:
| V_sum = V_1 + V_2 + V_3 + … + V_n |
Где:
- V_sum — сумма векторов многоугольника
- V_1, V_2, V_3, …, V_n — векторы многоугольника
Пример:
| Векторы многоугольника | Сумма векторов |
|---|---|
| V_1 = (2, 3) | V_sum = (1, 2) + (2, 3) + (-1, 1) = (2, 6) |
| V_2 = (-1, 1) | |
| V_3 = (1, 2) |
Таким образом, сумма векторов многоугольника равна (2, 6).
Примеры
| Вектор A | Вектор B | Сумма векторов A + B |
|---|---|---|
A = 3 i + 4 j | B = 2 i + 6 j | A + B = (3 + 2) i + (4 + 6) j = 5 i + 10 j |
A = 2 i + 5 j | B = -3 i — 7 j | A + B = (2 — 3) i + (5 — 7) j = -1 i — 2 j |
A = -4 i + 6 j | B = -2 i + 3 j | A + B = (-4 — 2) i + (6 + 3) j = -6 i + 9 j |
Пример 1: Треугольник
Рассмотрим пример суммы векторов в правиле многоугольника на конкретном случае треугольника.
Пусть у нас есть треугольник ABC, где вектор AB имеет координаты (3, 2), вектор BC имеет координаты (-1, 4), а вектор AC — это сумма векторов AB и BC.
Чтобы найти вектор AC, нужно сложить соответствующие координаты векторов AB и BC:
X-координата вектора AC: (3) + (-1) = 2
Y-координата вектора AC: (2) + (4) = 6
Таким образом, координаты вектора AC равны (2, 6).
На графике это означает, что вектор AC будет направлен из точки A до точки C и иметь длину, пропорциональную длине вектора AB и BC, но смещена вправо на 2 и вверх на 6.
Пример 2: Четырехугольник
Допустим, у нас есть четырехугольник с четырьмя сторонами: AB, BC, CD и DA. Мы хотим найти сумму всех векторов сторон этого четырехугольника.
Пусть векторы сторон AB и BC имеют следующие значения:
AB = 3i + 2j
BC = 5i — 4j
Чтобы найти вектор суммы этих двух векторов, мы складываем координаты этих векторов по отдельности:
i-координата суммы = 3 + 5 = 8
j-координата суммы = 2 — 4 = -2
Таким образом, вектор суммы AB и BC будет:
AB + BC = 8i — 2j
Аналогично, мы можем найти векторы суммы двух других пар сторон: CD + DA и DA + AB:
CD + DA = -4i + 6j
DA + AB = 5i + 8j
Теперь, чтобы найти сумму всех векторов сторон четырехугольника, мы складываем все векторы по отдельности:
Сумма всех векторов сторон четырехугольника:
(AB + BC) + (CD + DA) + (DA + AB) = 8i — 2j + -4i + 6j + 5i + 8j = 9i + 12j
Таким образом, сумма всех векторов сторон четырехугольника равна 9i + 12j.
Пример 3: Пятиугольник
Рассмотрим пятиугольник ABCDE, в котором вектор AB имеет направление N, длину 3 единицы, вектор BC имеет направление S, длину 2 единицы, вектор CD имеет направление W, длину 4 единицы, вектор DE имеет направление E, длину 5 единицы, и вектор EA имеет направление NE, длину 1 единица.
Для нахождения суммы всех векторов в пятиугольнике, нужно найти сумму всех координат x и y каждого вектора отдельно. То есть, для нахождения x-координаты суммы, нужно сложить все x-координаты векторов, а для нахождения y-координаты суммы, нужно сложить все y-координаты векторов.
Итак, для пятиугольника ABCDE:
x-координата суммы:
N + 0 + W + (-5) + (-1) = N + W — 6
y-координата суммы:
0 + S + 0 + (-5) + (-1) = S — 6