Линейная функция — одно из первых понятий, которые учат на уроках алгебры в 7 классе. Линейная функция это математическое выражение, которое можно представить в виде y = kx + b, где x и y — переменные, k и b — коэффициенты, определяющие наклон и смещение прямой.
Определение линейной функции можно увидеть на примере прямой на координатной плоскости. Коэффициент k отвечает за его наклон, а коэффициент b — за точку пересечения прямой с осью y. Чем больше значение k, тем круче наклон прямой. Положительное значение k означает положительный наклон, отрицательное — отрицательный наклон. Если k = 0, то прямая будет горизонтальной. Если k не равно 0, а b = 0, то прямая будет проходить через начало координат.
Примеры линейных функций:
1. y = 2x + 3: Это уравнение определяет прямую с положительным наклоном. Коэффициент k равен 2, что означает, что за каждое увеличение x на 1, y увеличивается на 2. Также прямая пересекает ось y в точке (0, 3).
2. y = -0.5x + 1: Это уравнение определяет прямую с отрицательным наклоном. Коэффициент k равен -0.5, что означает, что за каждое увеличение x на 1, y уменьшается на 0.5. Также прямая пересекает ось y в точке (0, 1).
3. y = 3: Это уравнение определяет горизонтальную прямую. Коэффициент k равен 0, поэтому наклон отсутствует. Прямая параллельна оси x и y всегда равна 3.
- Определение линейной функции 7 класс алгебра
- Определение и свойства
- Формула линейной функции
- Примеры линейных функций
- Пример 1: Зарплата в зависимости от отработанных часов
- Пример 2: Расстояние между двумя точками на координатной плоскости
- График линейной функции
- Построение графика
- График линейной функции на координатной плоскости
- Задачи с линейными функциями
Определение линейной функции 7 класс алгебра
Переменная x является аргументом функции, а переменная y – значением функции, связанным с аргументом x. Значения k и b определяют наклон и сдвиг прямой линии на графике.
Число k называется коэффициентом наклона и показывает, насколько изменяется значение y при изменении значения x на единицу. Если k положительное, то при увеличении x, y также будет увеличиваться. Если k отрицательное, то при увеличении x, y будет уменьшаться.
Число b называется свободным членом и показывает точку пересечения прямой линии с осью y. Если b положительное, то линия пересекает ось y выше начала координат, а если b отрицательное, то ниже начала координат.
Например, функция y = 2x — 3 является линейной функцией. Коэффициент наклона равен 2, а свободный член равен -3. График данной функции будет прямой линией, которая пересекает ось y в точке с координатами (0, -3) и имеет положительный наклон.
Определение и свойства
Важными свойствами линейной функции являются:
- Каждая прямая имеет свой угол наклона и свое положение на оси координат.
- Наклон прямой определяет зависимость между x и y.
- Если наклон положительный, то прямая имеет возрастающий порядок. Если наклон отрицательный, то прямая имеет убывающий порядок.
- Свободный член определяет точку пересечения прямой с осью y.
- Через две различные точки можно провести единственную прямую.
Линейная функция широко используется в различных областях, таких как физика, экономика, статистика и другие, для построения моделей и анализа данных. Она позволяет описать простые зависимости между переменными и предсказывать результаты в заданных условиях.
Формула линейной функции
y = kx + b
Здесь y — значение функции, которое зависит от переменной x;
k — коэффициент наклона прямой (показывает, какая часть роста функции приходится на единичное изменение переменной x);
b — свободный член (показывает значение функции при x = 0).
Таким образом, формула линейной функции позволяет нам определить значение функции y для любого значения переменной x.
Например, рассмотрим линейную функцию y = 2x + 3. При x = 0, значение функции будет равно 3. При x = 1, значение функции будет равно 5 (2 * 1 + 3 = 5). И так далее.
Формула линейной функции позволяет нам легко находить значения функции по значениям переменной и строить график функции на координатной плоскости.
Примеры линейных функций
Вот несколько примеров линейных функций:
- Функция y = 2x + 3, где k = 2 и b = 3. Это означает, что для каждого значения x, значение y будет равно удвоенному значению x, увеличенному на 3.
- Функция y = -0.5x + 1, где k = -0.5 и b = 1. Это означает, что для каждого значения x, значение y будет равно отрицательной половине значения x, увеличенному на 1.
- Функция y = x, где k = 1 и b = 0. В этом случае наклон прямой равен 1, что означает, что значение y будет равно значению x без каких-либо изменений.
Это только некоторые из множества возможных примеров линейных функций. Все они имеют общий вид y = kx + b и могут быть представлены графически в виде прямых линий на координатной плоскости.
Пример 1: Зарплата в зависимости от отработанных часов
Рассмотрим пример линейной функции на практике. Предположим, что у нас есть работник, который получает зарплату в зависимости от количества отработанных им часов. Пусть базовая ставка составляет 200 рублей в час.
Мы можем задать эту зависимость линейной функцией, где x — количество отработанных часов, а y — заработанная зарплата:
y = 200x
Таким образом, за каждый отработанный час работник будет получать 200 рублей.
Например, если работник отработал 5 часов, его зарплата будет равна:
y = 200 * 5 = 1000 рублей
Пример 2: Расстояние между двумя точками на координатной плоскости
Для нахождения расстояния между двумя точками на координатной плоскости можно использовать линейную функцию.
Пусть у нас есть две точки A(x1, y1) и B(x2, y2) на координатной плоскости.
Для нахождения расстояния между этими точками мы можем воспользоваться формулой:
Расстояние = √((x2 — x1)^2 + (y2 — y1)^2)
В таблице ниже приведены значения координат точек A и B, а также результат вычисления расстояния между ними:
| Точка | x | y |
|---|---|---|
| A | 2 | 3 |
| B | 5 | 7 |
| Расстояние | 5 | |
Используя формулу для расстояния между точками A(2, 3) и B(5, 7), мы получаем значение 5. Таким образом, расстояние между этими точками составляет 5 единиц.
График линейной функции
График линейной функции представляет собой прямую линию на координатной плоскости. Он имеет некоторые особенности, которые можно выделить:
- Прямая линия проходит через точку с координатами (0, b), где b — свободный член уравнения функции. Это означает, что при аргументе, равном нулю, значение функции будет равно b.
- Прямая линия имеет одинаковый наклон для всех точек графика. Это означает, что при изменении значения аргумента на единицу, значение функции изменяется на определенную величину, которая называется коэффициентом наклона. Если коэффициент наклона положителен, прямая линия будет идти вверх, если отрицателен – вниз.
- Прямая линия может иметь некоторую длину в одном или обоих направлениях, что указывает на возможные значения функции вне заданного интервала.
Например, рассмотрим линейную функцию y = 2x + 3. График этой функции представляет собой прямую линию, которая будет проходить через точку (0, 3) и иметь наклон 2 (при изменении x на 1, y изменится на 2).
Построение графика
Для построения графика линейной функции обычно используется метод наименьших квадратов. Сначала находятся координаты двух точек на прямой. Для этого подставляются значения аргументов функции и находятся соответствующие значения функции. Полученные точки затем отмечаются на графике.
Чтобы упростить построение графика, можно воспользоваться некоторыми свойствами линейных функций, такими как угловой коэффициент и точка пересечения с осью ординат. Угловой коэффициент определяет наклон прямой, а точка пересечения с осью ординат позволяет найти начальное значение функции при аргументе, равном нулю.
Пример построения графика линейной функции: если дана функция y = 2x + 3, то можно определить точки, через которые будет проходить график. Подставляя значения аргументов (x) и находя соответствующие значения функции (y), получаем следующие координаты точек: (0, 3) и (1, 5). Затем эти точки отмечаются на координатной плоскости и соединяются прямой линией.
График линейной функции на координатной плоскости
График линейной функции представляет собой прямую линию на координатной плоскости. Он образуется путем соединения точек, координаты которых удовлетворяют условию функции.
Чтобы построить график линейной функции, нужно знать ее уравнение в виде y = kx + b, где k — коэффициент наклона, а b — свободный член.
Коэффициент наклона k определяет, какая будет наклонена прямая. Если k > 0, то прямая будет возрастать (идти вверх). Если k < 0, то прямая будет убывать (идти вниз).
Свободный член b определяет точку пересечения прямой с осью y (ось ординат). Если b > 0, то прямая будет пересекать ось y выше начала координат. Если b < 0, то прямая будет пересекать ось y ниже начала координат.
Для построения графика линейной функции удобно использовать таблицу значений. В таблице указываются значения x и соответствующие им значения y. После этого значения откладываются на координатной плоскости и соединяются прямыми линиями.
Приведем пример. Рассмотрим линейную функцию y = 2x — 3. Построим график этой функции.
| x | y |
|---|---|
| -3 | -9 |
| -2 | -7 |
| -1 | -5 |
| 0 | -3 |
| 1 | -1 |
| 2 | 1 |
| 3 | 3 |
На координатной плоскости отмечаем значения из таблицы и соединяем их прямыми линиями. Получаем график функции — прямую линию с наклоном вверх и пересечением оси y в точке (-3, 0).
Задачи с линейными функциями
Линейные функции широко применяются в математике и решение задач на них может помочь развить навыки аналитического мышления и применение математических знаний на практике.
Вот несколько примеров задач с линейными функциями, которые могут быть полезными при изучении их свойств:
- Задача о постоянстве скорости: Предположим, что автомобиль движется с постоянной скоростью 60 км/ч. Какое расстояние он преодолеет за 3 часа?
- Задача о стоимости бензина: Если стоимость 1 литра бензина составляет 50 рублей, какая будет стоимость заправки автомобиля с баком объемом 40 литров?
- Задача о скидке: Торговая сеть предлагает сезонную скидку в размере 20% на все товары. Сколько рублей нужно заплатить за покупку товара, если его исходная цена составляет 1000 рублей?
- Задача о доходе: Предположим, что за каждый проданный товар вы получаете комиссию в размере 10% от его цены. Сколько рублей вы получите за продажу товара со стоимостью 5000 рублей?
Эти задачи могут быть решены с использованием линейных функций, а именно формулы y = kx + b, где k — коэффициент наклона, x — независимая переменная (например, время или объем), y — зависимая переменная (например, расстояние или стоимость), b — свободный член (например, начальное положение или исходная цена).
Решение этих задач на линейные функции поможет вам понять, как меняются зависимые переменные в зависимости от независимых переменных и выявить закономерности и свойства линейных функций.