Формулы и примеры вычисления расстояний от начала координат до точек на плоскости и в трехмерном пространстве

Вычисление расстояний от начала координат до точек – одна из важных задач, которая используется в множестве областей, начиная от физики и математики и заканчивая компьютерной графикой и машинным обучением. Понимание того, как измерить расстояние между двумя точками на плоскости или в пространстве, является неотъемлемой частью работы в этих областях.

Для вычисления расстояний от начала координат до точек существуют несколько формул, которые основаны на теореме Пифагора. Если мы рассматриваем точку на плоскости, координаты которой (x, y), то расстояние от начала координат до этой точки можно вычислить по формуле:

d = sqrt(x² + y²)

Если точка находится в пространстве и имеет координаты (x, y, z), то вычисление расстояния до этой точки будет производиться по формуле:

d = sqrt(x² + y² + z²)

Проиллюстрируем примеры вычисления расстояний от начала координат до точек. Пусть у нас есть точка A с координатами (3, 4) на плоскости. Используя формулу, мы можем вычислить расстояние от начала координат до этой точки:

Подставляем значения в формулу:

d = sqrt(3² + 4²)

d = sqrt(9 + 16)

d = sqrt(25)

d = 5

Таким образом, расстояние от начала координат до точки A равно 5.

Аналогичным образом можно рассчитать расстояние от начала координат до точек в пространстве.

Формулы вычисления расстояний от начала координат до точек

Расстояние от начала координат до точки в двумерном пространстве может быть вычислено с использованием формулы расстояния:

√(x² + y²)

где x — координата по оси абсцисс, y — координата по оси ординат.

Расстояние от начала координат до точки в трехмерном пространстве может быть вычислено с использованием формулы расстояния:

√(x² + y² + z²)

где x — координата по оси абсцисс, y — координата по оси ординат, z — координата по оси аппликат.

Таблица ниже показывает примеры вычисления расстояний от начала координат до точек в двумерном и трехмерном пространствах:

Евклидово расстояние: формула и примеры

d = √((x₂ — x₁)² + (y₂ — y₁)²)

где:

• d — евклидово расстояние между точками;
• x₁ и y₁ — координаты первой точки;
• x₂ и y₂ — координаты второй точки.

Давайте рассмотрим примеры вычисления евклидова расстояния:

В примере №1 у нас есть точка 1 с координатами (0, 0) и точка 2 с координатами (3, 4). Подставляя значения в формулу, мы получаем:

d = √((3 — 0)² + (4 — 0)²) = √(9 + 16) = √25 = 5

Таким образом, евклидово расстояние между точкой 1 и точкой 2 равно 5.

Аналогично, в примере №2 евклидово расстояние также равно 5. В примере №3 у нас есть точка 1 с координатами (-1, -1) и точка 2 с координатами (7, 9). Подставляя значения в формулу, мы получаем:

d = √((7 — (-1))² + (9 — (-1))²) = √(64 + 100) = √164 = 14.142

Таким образом, евклидово расстояние между точкой 1 и точкой 2 равно 14.142.

Манхэттенское расстояние: формула и примеры

Формула для вычисления манхэттенского расстояния между двумя точками A(x1, y1) и B(x2, y2) выглядит следующим образом:

d = |x2 — x1| + |y2 — y1|

Давайте рассмотрим несколько примеров опеределения манхэттенского расстояния.

Пример 1:

Даны две точки A(3, 5) и B(8, 2). Найдем манхэттенское расстояние между ними.

Решение:

Вычислим разность координат по оси X: |8 — 3| = 5.

Вычислим разность координат по оси Y: |2 — 5| = 3.

Сложим полученные значения: 5 + 3 = 8.

Ответ: манхэттенское расстояние между точками A и B равно 8.

Пример 2:

Даны точки A(0, 0) и B(5, 9). Найдем манхэттенское расстояние между ними.

Решение:

Вычислим разность координат по оси X: |5 — 0| = 5.

Вычислим разность координат по оси Y: |9 — 0| = 9.

Сложим полученные значения: 5 + 9 = 14.

Ответ: манхэттенское расстояние между точками A и B равно 14.

Манхэттенское расстояние может быть полезно в различных областях, включая компьютерную графику, маршрутное планирование и машинное обучение. Эта метрика позволяет определить, насколько «далеко» одна точка находится от другой, без учета промежуточных точек и препятствий.

Расстояние Чебышева: формула и примеры

Формула расстояния Чебышева:

д = max(|x₁ — x₂|, |y₁ — y₂|, …, |n₁ — n₂|)

где (x₁, y₁, …, n₁) и (x₂, y₂, …, n₂) – координаты двух точек в многомерном пространстве.

Пример вычисления расстояния Чебышева:

Для точек A(2, 3, 4) и B(6, 1, 7) вычислим расстояние Чебышева:

Д = max(|2 — 6|, |3 — 1|, |4 — 7|) = max(4, 2, 3) = 4

Таким образом, расстояние Чебышева между точками A и B равно 4.