Седловая точка является одним из ключевых понятий в теории игр. В игровой теории она означает такую точку в матричной игре, где стратегия одного игрока является оптимальной, независимо от выбора стратегии другого игрока. В математическом понимании, седловая точка является точкой пересечения наибольшего значения в строке и наименьшего значения в столбце.
Аналогия с физической точкой седла придала это термину название. Такая точка седла является особенной в матрице игры, потому что здесь ни одна сторона не может изменить свою стратегию, чтобы улучшить свое положение. Седловая точка представляет собой равновесие Нэша, которое считается наилучшей стратегией для игроков.
На примере игры «Узнай число!» можно проиллюстрировать понятие седловой точки. В этой игре двое игроков загадывают числа от 1 до 100 и пытаются отгадать, какое число загадал их соперник. Если оба игрока угадывают число, они побеждают вместе, иначе никто не получает ничего. В матрице этой игры на пересечении строки и столбца будет находиться седловая точка, которая будет оптимальной для обоих игроков.
Что такое седловая точка?
- В данной точке игра достигает наилучшего возможного исхода для одного из игроков, независимо от выбранной стратегии соперника.
- У другого игрока нет стратегии, которая могла бы улучшить его результат при условии, что первый игрок выбирает оптимальную стратегию.
Таким образом, седловая точка является точкой, где игра достигает равновесия, и ни одному из игроков нет выгоды от изменения своей стратегии при условии, что соперник также действует оптимально.
Понятие седловой точки может быть наглядно продемонстрировано на примере матрицы игры. Рассмотрим ситуацию, где двум игрокам предлагается сделать выбор между двумя стратегиями. В матрице игры под каждым игроком указаны возможные исходы при выборе определенных стратегий.
Если в такой матрице игры существует точка, где один из игроков получает наибольшую выгоду, а другой не имеет стратегии, при которой он мог бы улучшить свои результаты, то такая точка называется седловой.
Определение седловой точки
Седловая точка может быть найдена в матрице платежей, которая представляет собой инструмент для моделирования различных видов игровых ситуаций. Матрица платежей имеет два измерения — одно для стратегий игрока A, другое для стратегий игрока B. Значение в каждой ячейке матрицы представляет собой платеж, который получит игрок A от игрока B при выборе соответствующих стратегий.
Седловая точка отображает такую комбинацию стратегий, где одному игроку гарантированна наивысшая выплата, вне зависимости от выбора стратегии соперника. Другими словами, седловая точка является оптимальным решением игры для обоих игроков.
| Стратегия 1 | Стратегия 2 | Стратегия 3 | |
| Стратегия A | 4 | 2 | 6 |
| Стратегия B | 3 | 5 | 1 |
| Стратегия C | 2 | 6 | 4 |
В приведенной выше таблице игры, седловая точка находится в ячейке со значением 2. Стратегия A является оптимальной для игрока A, независимо от выбора стратегии соперника, и стратегия B является оптимальной для игрока B, независимо от выбора стратегии игрока A. В данной ситуации выбор стратегии A и B обеспечивает наивысший платеж для обеих сторон.
Седловая точка в теории игр
Формально, седловая точка представляет собой пару стратегий, одна для каждого игрока, такая что выигрыши игроков в этой точке являются наилучшими, и ни один из игроков не может получить больший выигрыш, придерживаясь другой стратегии. Это означает, что седловая точка является сбалансированным состоянием, в котором никто не может действовать лучше, несмотря на действия другого игрока.
Седловые точки могут быть найдены в различных играх, таких как матричные игры, игры с неполной информацией и других. Например, в матричной игре с двумя игроками, где игроки выбирают стратегии из определенного набора и получают выигрыш в соответствии с заданной матрицей выигрышей, седловая точка представляет собой пару стратегий, при которых максимальный выигрыш первого игрока соответствует минимальному выигрышу второго игрока.
Седловые точки имеют важное значение в теории игр, так как они позволяют определить оптимальные стратегии для игроков и предсказать итоговый результат игры. Нахождение седловых точек может быть сложной задачей из-за неравенства информированности и комплексности игровых ситуаций, но они играют важную роль в анализе различных игровых сценариев.
Примеры седловых точек
Пример 1: Рассмотрим игру «Заказы фирм». В этой игре две фирмы выбирают, сколько заказов подать. Результаты игры определяются, исходя из количества заказов и затрат каждой фирмы на производство. Если обе фирмы подадут по одному заказу, они получат максимальную прибыль. В этом случае, точка (1, 1) является седловой точкой, потому что ни одна из фирм не может увеличить свою прибыль, изменив свою стратегию.
Пример 2: Рассмотрим игру «Битва двух армий». В этой игре две армии выбирают, сколько солдат направить на атаку и сколько оставить для защиты. Исход игры определяется, исходя из численности армий и стратегии каждой армии. Если обе армии направят одинаковое количество солдат на атаку и защиту, то ни одна из армий не сможет улучшить свой исход. В этом случае, точка (x, x) является седловой точкой, где x — равное число солдат на атаке и защите для обеих армий.
Пример 3: Рассмотрим игру «Торговля на рынке». В этой игре два трейдера выбирают, сколько товара продать и по какой цене. Результаты игры определяются, исходя из количества проданного товара, цены и затрат каждого трейдера. Если оба трейдера продадут товар по одинаковой цене, то ни один из трейдеров не сможет увеличить свою прибыль, изменив свою стратегию. В этом случае, точка (p, p) является седловой точкой, где p — равная цена товара для обоих трейдеров.
Это лишь некоторые примеры седловых точек в теории игр. Они помогают понять концепцию седловых точек и их важность в матричных играх.
Пример №1: Дилемма заключенного
Предположим, что два заключенных, которых подозревают в совершении преступления, находятся в полицейском участке в разных комнатах и не могут общаться друг с другом.
Каждому заключенному предлагается выбрать одно из двух действий: сотрудничать, то есть признаться в совершении преступления и получить более мягкий приговор, или предать своего соучастника, оставаясь невиновным и получить либо свободу, либо более жесткий приговор, если их обоих обвинят.
Ситуация осложняется тем, что заключенные не знают, какой выбор будет сделан другим игроком. Если оба выберут сотрудничество, то получат сравнительно небольшие наказания. Однако, если они оба выберут предательство, то получат более жесткие наказания, чем если бы выбрали сотрудничество.
В результате, каждый из игроков стоит перед дилеммой: сотрудничать и рисковать, что другой предаст его, или предать другого и рисковать, что другой выберет сотрудничество.
Дилемма заключенного показывает, что индивидуальные стратегии игроков могут привести к неблагоприятному исходу для обоих, хотя совместное сотрудничество было бы взаимно выгодным решением.
Пример №2: Игра «Камень-ножницы-бумага»
Ниже приведены возможные комбинации выборов и результаты:
- Если оба игрока выбирают камень, игра заканчивается вничью.
- Если оба игрока выбирают ножницы, игра заканчивается вничью.
- Если оба игрока выбирают бумагу, игра заканчивается вничью.
- Если один игрок выбирает камень, а другой выбирает ножницы, игрок с камнем побеждает.
- Если один игрок выбирает камень, а другой выбирает бумагу, игрок с бумагой побеждает.
- Если один игрок выбирает ножницы, а другой выбирает бумагу, игрок с ножницами побеждает.
В данной игре нет явного лидера или стратегического преимущества. Каждая комбинация выборов имеет одинаковую вероятность, и ни один игрок не может предсказать выбор другого игрока. Именно поэтому в этой игре существует ситуация седловой точки, при которой ни один игрок не может улучшить свои шансы на выигрыш, независимо от выбора соперника.
Пример №3: Матрица выигрышей в игре «Крестики-нолики»
Давайте рассмотрим игру «Крестики-нолики» и матрицу выигрышей, где седловая точка возникает в результате оптимальных решений игроков.
Предположим, у нас есть два игрока, которые ходят по очереди и ставят крестики или нолики на игровое поле размером 3х3. Игрок, который сможет составить вертикальную, горизонтальную или диагональную линию из своих символов, считается победителем.
Рассмотрим следующую матрицу выигрышей:
- Крестики (1) — победа
- Нолики (-1) — поражение
- Ничья (0) — ничья
| 1 | -1 | 1 |
| 0 | 1 | -1 |
| -1 | 0 | 1 |
В этом примере, если оба игрока оптимально используют свои ходы, то они достигнут седловой точки, значения которой равны 0. Это означает, что при таких оптимальных решениях игра будет всегда заканчиваться вничью.
Однако, если игроки не будут играть оптимально, результат может быть другим. Например, если один из игроков сделает неоптимальный ход, то другой игрок сможет использовать это преимущество и выиграть.
Именно поэтому концепция седловой точки является важной в теории игр, она позволяет определить оптимальную стратегию для каждого игрока и предоставляет тактическое преимущество в игре.