Отображение плоскости на себя – это процесс, при котором каждой точке плоскости ставится в соответствие некоторая точка этой же плоскости. Данное отображение имеет особое значение в геометрии и математике в целом, поскольку позволяет исследовать структуру плоскости и ее свойства.
Одним из примеров отображения плоскости на себя является поворот. Поворот задается углом и центром – точкой, вокруг которой происходит вращение. В результате плоскость «поворачивается» на заданный угол вокруг данной точки. При этом все точки плоскости смещаются, сохраняя при этом свои относительные расстояния и углы.
Другим примером отображения плоскости на себя является сжатие или растяжение. В этом случае, все точки плоскости смещаются вдоль определенных направлений, изменяя свои относительные расстояния. Если сжатие происходит вдоль всех направлений одинаково, то результатом будет равномерное сжатие или растяжение плоскости. Если же сжатие происходит вдоль разных направлений с разной интенсивностью, то это приводит к деформации плоскости.
Что такое отображение плоскости на себя?
Формально, отображение плоскости на себя — это функция, которая принимает точку на плоскости и возвращает другую точку на этой же плоскости. Оно является биекцией, то есть каждой точке соответствует единственная точка и наоборот.
Отображение плоскости на себя может иметь различные свойства, которые сохраняются при этом процессе. Например, сохраняется расстояние между точками, параллельные прямые остаются параллельными, и углы между прямыми сохраняются. Они могут быть изображены с помощью матрицы или графически с помощью диаграммы.
Примером отображения плоскости на себя является поворот. При повороте точка на плоскости вращается вокруг некоторой оси и изменяет свое положение. В результате получается новая точка, которая соответствует начальной точке после поворота.
| Примеры отображения плоскости на себя | |
| Отображение | Описание |
| Тождественное отображение | Каждая точка остается на своем месте |
| Поворот на 90° по часовой стрелке | Каждая точка поворачивается на 90° по часовой стрелке |
| Отображение, сжимающее прямые в центре | Прямые, проходящие через центр, сохраняются, а остальные сжимаются к этому центру |
Определение и основные принципы
Основные принципы отображения плоскости на себя включают:
1. Сохранение углов: если две прямые пересекаются под определенным углом до отображения, то их образы также будут пересекаться под тем же углом после отображения.
<
Примеры отображения плоскости на себя
- Отображение при постоянном смещении: если плоскость смещается параллельно самой себе на некоторый вектор, то каждая точка смещается на этот же вектор. Например, если плоскость смещается вправо на 2 единицы, то каждая точка плоскости будет смещена вправо на 2 единицы.
- Отображение при постоянной замене координат: если каждой точке задано некоторое правило замены координат, то плоскость может быть отображена на себя так, что каждая точка будет иметь новые координаты согласно этому правилу. Например, если каждой точке пересечения плоскости с осью абсцисс сопоставить точку с таким же значением абсциссы, но с отрицательным значением ординаты, то в результатирующем отображении плоскости на себя все точки будут расположены в третьей четверти.
- Отображение при отражении относительно прямой: если каждая точка плоскости отражается относительно некоторой прямой, то плоскость может быть отображена на себя так, что каждая точка будет иметь новое положение, симметричное относительно этой прямой. Например, если каждую точку отразить относительно прямой y=x, то все точки с положительными координатами будут перейдут в точки с отрицательными координатами и наоборот.
Геометрические и алгебраические примеры
Алгебраический пример может быть таким: рассмотрим квадратичную функцию f(x) = x^2. Чтобы отобразить график этой функции на себя, мы можем использовать следующее преобразование: x’ = -x. Здесь x’ — новая переменная, а f(x’) = f(-x) будет новой функцией, которая будет иметь ту же форму и график, что и исходная функция.
| Исходная плоскость | Преобразованная плоскость |
|---|---|
|
|
На приведенной выше таблице показаны графики исходной функции и ее преобразованной версии для примера с квадратичной функцией. Заметим, что оба графика имеют одну и ту же форму, но опять же, ориентация осей координат изменилась.