В геометрии вписанными углами на хорде называются углы, которые образуются при соединении двух точек на окружности хордой. Вписанный угол может быть равен разным значениям, в зависимости от положения хорды и его связи с другими элементами окружности. В данной статье рассмотрим формулу для вычисления вписанного угла на хорде и приведем несколько примеров для более наглядного представления.
Формула для нахождения вписанного угла на хорде выглядит следующим образом: α = 2arcsin(d/2r), где α — вписанный угол, d — длина хорды, r — радиус окружности. Величина d/2r называется синусом половинного вписанного угла, а функция arcsin обратная к синусу. Таким образом, формула позволяет вычислить угол, зная длину хорды и радиус окружности.
Рассмотрим пример. Пусть имеется окружность радиусом 5 см и длиной хорды, равной 6 см. Найдем величину вписанного угла на этой хорде, используя формулу. Подставим значения в формулу: α = 2arcsin(6/2*5) = 2arcsin(3/5) ≈ 2 * 0.6435 ≈ 1.287 радиан. Таким образом, вписанный угол на данной хорде равен примерно 1.287 радиан.
Определение концепта
Вписанный угол на хорде представляет собой угол, который образуется двумя лучами, исходящими из концов хорды и пересекающими окружность в различных точках. Угол называется вписанным, потому что он лежит в пределах окружности и его вершина лежит на окружности.
Вписанный угол может быть измерен с помощью формулы, которая связывает его значение с мерой дуги окружности, на которую он опирается. Формула гласит: угол равен половине меры дуги, которой он соответствует. Это означает, что если длина дуги составляет 60 градусов, то вписанный угол, опирающийся на эту дугу, будет равен 30 градусов.
Концепт вписанного угла на хорде широко используется в геометрии и встречается в различных задачах, связанных с окружностями. Он позволяет определить меру угла на основе меры дуги, что упрощает решение задач и вычислений с углами. Изучение этого концепта позволяет лучше понять свойства окружностей и их взаимосвязь с углами.
Геометрическое определение
Величина вписанного угла на хорде зависит от длины самой хорды и положения точек, из которых исходят лучи. Следующая формула позволяет вычислить величину вписанного угла:
Вписанный угол на хорде равен половине меры дуги, ограниченной этой хордой.
Для примера, рассмотрим окружность с радиусом 5 единиц. Пусть хорда данной окружности имеет длину 8 единиц. Тогда, чтобы найти вписанный угол на этой хорде, нужно вычислить половину меры дуги, ограниченной данной хордой. Длина дуги можно вычислить по формуле: длина дуги = (величина угла в градусах / 360) * длина окружности. В нашем случае это будет: длина дуги = (величина угла в градусах / 360) * 2 * 5 = (величина угла в градусах / 360) * 10. Поскольку нам известна длина хорды (8 единиц), можно записать уравнение:
8 = (величина угла в градусах / 360) * 10
Решая это уравнение относительно величины угла, можно найти ответ.
Формула для вычисления вписанного угла
Для вычисления вписанного угла на хорде можно использовать следующую формулу:
| Вписанный угол (в градусах) | = | Длина дуги (в радианах) | / | Радиус окружности |
Для того чтобы применить эту формулу, необходимо расчитать длину дуги и знать значение радиуса окружности.
Пример:
Пусть на хорде AB окружности задано расстояние AC, равное 3 см, а радиус окружности равен 5 см.
Длина дуги BC можно найти с помощью следующей формулы:
| Длина дуги (в радианах) | = | Вписанный угол (в градусах) | * | Радиус окружности |
Подставляя значения, получим:
| Длина дуги (в радианах) | = | 60 градусов | * | 5 см | = | 300 см |
Таким образом, вписанный угол на хорде AB равен:
| Вписанный угол (в градусах) | = | 300 см | / | 5 см | = | 60 градусов |
Примеры вычисления вписанных углов
Ниже приведены несколько примеров вычисления вписанных углов на хорде:
Пример 1:
Дана окружность с радиусом 5 см и хордой длиной 8 см. Необходимо найти вписанный угол на этой хорде.
Для решения данной задачи воспользуемся формулой для вычисления вписанного угла на хорде:
Угол = 2 * arcsin(длина хорды / (2 * радиус)).
Подставляя значения из условия, получаем: Угол = 2 * arcsin(8 / (2 * 5)) = 2 * arcsin(0.8) ≈ 2 * 53.13° ≈ 106.26°.
Таким образом, вписанный угол на данной хорде составляет примерно 106.26°.
Пример 2:
Дана окружность с радиусом 10 см и хордой длиной 12 см. Необходимо найти вписанный угол на этой хорде.
Используя формулу для вычисления вписанного угла на хорде, получим: Угол = 2 * arcsin(12 / (2 * 10)) = 2 * arcsin(0.6) ≈ 2 * 36.87° ≈ 73.74°.
Таким образом, вписанный угол на данной хорде составляет примерно 73.74°.
Пример 3:
Дана окружность с радиусом 7 см и хордой длиной 10 см. Необходимо найти вписанный угол на этой хорде.
Подставляя значения в формулу для вычисления вписанного угла на хорде, получаем: Угол = 2 * arcsin(10 / (2 * 7)) = 2 * arcsin(0.714) ≈ 2 * 45.54° ≈ 91.08°.
Таким образом, вписанный угол на данной хорде составляет примерно 91.08°.