Параллелограммы — один из основных объектов в геометрии, изучаемый на разных этапах школьной программы. Эти фигуры обладают множеством интересных свойств и зависимостей. В данной статье мы рассмотрим доказательство существования параллелограммов АБСД и АВСД.
Для начала, рассмотрим фигуру АВСД. Заметим, что стороны АВ и СД параллельны друг другу, так как они являются противоположными сторонами параллелограмма. Это можно доказать, предположив, что АВ и СД пересекаются в точке Е и воспользовавшись свойствами параллельных прямых и треугольников.
Далее, обратим внимание на стороны АС и ВД. Опять же, с помощью свойств параллельных прямых и треугольников, можно показать, что эти стороны тоже параллельны. Таким образом, фигура АВСД удовлетворяет всем условиям параллелограмма.
Теперь рассмотрим фигуру АБСД. По определению, параллелограммы имеют равные противоположные стороны. В данном случае, это сторона АС и СД, а также сторона АВ и ВД. Зная, что стороны АС и СД параллельны и равны, мы можем заключить, что стороны АВ и ВД также параллельны и равны. Таким образом, и фигура АБСД является параллелограммом.
Свойства параллелограмма
Основные свойства параллелограмма:
- Противоположные стороны параллельны: В параллелограмме стороны AB и CD, а также BC и AD параллельны.
- Противоположные стороны равны: В параллелограмме стороны AB и CD, а также BC и AD равны друг другу.
- Противоположные углы равны: В параллелограмме углы А и С, а также углы B и D равны друг другу.
- Сумма углов в параллелограмме: Сумма всех углов в параллелограмме равна 360 градусов.
- Диагонали: В параллелограмме диагонали AC и BD делятся пополам и пересекаются в точке О.
Эти свойства помогают нам определить и доказать, что данный четырехугольник является параллелограммом.
Доказательство свойства 1
Свойство 1: Диагонали параллелограмма делят его на две равные части.
Доказательство:
- Предположим, что АБСД — параллелограмм.
- Проведем диагональ АС.
- Заметим, что стороны АС и ВД параллельны и равны по определению параллелограмма.
- Также заметим, что стороны АВ и СД параллельны и равны по определению параллелограмма.
- Из свойства параллельных прямых следует, что углы АСВ и ВДС равны, а также углы АВС и ДСА равны.
- Таким образом, у нас есть два треугольника АВС и ДСА, у которых соответствующие углы равны.
- Из равенства углов следует, что эти треугольники подобны.
- Из подобия треугольников следует, что их стороны пропорциональны.
- Так как стороны АВ и СД равны по определению параллелограмма, то стороны АС и BD тоже равны.
- То есть, диагонали АС и BD параллельны и равны, что доказывает, что они делят параллелограмм на две равные части.
Доказательство свойства 2
Для доказательства свойства 2 параллелограмма АБСД и АВСД, нам понадобится использовать теорему о параллельных прямых.
Свойство 2: Противоположные стороны параллелограмма равны по длине.
Доказательство:
Предположим, что сторона АД больше стороны СВ. Так как стороны АВ и СД параллельны, то угол АВС равен углу ДСА (по теореме о параллельных прямых).
Также, угол АСВ равен углу ДВА (по теореме о параллельных прямых). Так как противоположные стороны параллелограмма равны по длине, углы АВС, АСВ и углы ДСА, ДВА должны быть равными между собой.
Но углы АВС и ДСА не могут быть одновременно больше или одновременно меньше углов АСВ и ДВА, так как сумма углов треугольника равна 180 градусов.
Таким образом, предположение о том, что сторона АД больше стороны СВ, неверно. Аналогично можно доказать, что предположение о том, что сторона СВ больше стороны АД, также неверно.
Значит, противоположные стороны параллелограмма АБСД равны по длине — то есть доказано свойство 2.