Доказательство по определению предела равенства 0 обычно проводится с использованием математической индукции. Для начала, давайте определим, что означает "предел равенства 0".
Предел функции равен 0 означает, что приближаясь к некоторой точке на графике функции, значения функции становятся сколь угодно близкими к нулю. Другими словами, мы можем сделать значения функции настолько маленькими, насколько нам нужно, путем выбора достаточно маленького окрестности на графике функции.
При доказательстве по определению предела равенства 0, мы должны показать, что для любого положительного числа ε (эпсилон) найдется положительное число δ (дельта), такое что если аргумент функции находится в интервале (a - δ, a + δ), то значения функции лежат в интервале (0 - ε, 0 + ε).
Что такое предел функции?
Пусть дана функция f(x), определенная на некотором интервале или окрестности точки c. Говорят, что предел функции f(x) при x, стремящемся к c, равен числу L, если для любого положительного числа ε существует такая положительная дельта δ, что для всех x, таких что 0 < |x - c| < δ, будет выполняться неравенство |f(x) - L| < ε.
То есть, предел функции показывает, какая функция становится всё ближе к некоторому значению при приближении аргумента к некоторой точке.
Определение предела
Пределом функции в точке называется значение, к которому функция стремится, когда ее аргумент приближается к этой точке. Формально предел функции в точке может быть определен следующим образом:
Для каждого положительного числа ε существует такое положительное число δ, что все точки х, для которых 0
Здесь а – это точка, к которой стремится аргумент х, а L – предполагаемое значение предела функции.
С использованием этого определения можно доказать равенство предела функции нулю, если для любого положительного числа ε можно найти такое положительное число δ, что все точки x, для которых 0
Таким образом, когда аргумент функции стремится к определенной точке, а значение функции остается близким к нулю, можно говорить о пределе функции, равном нулю.
